mithin: AN+ BN N 3 L3 NX+ BN+ NN+ CNI 4. DN=(1+ 9) 2 = der Summe der beiden Höhen des Parallelogramms AiBi1CiDi, also constant.

Wir ziehen nun zwischen den vier Punkten A, B, C, D die Diagonalen AC und BD, sie schneiden sich im Punkte H. Von H aus fällen wir Lote auf die Seiten AlDi, Di0!, CiBi und AlB, gibt die Punkte K, L, M, O. Es ist dann:

HA+ HB HOC HD) uk HL. † HO HM ) KO0+ M.

Nun ist aber, wie früher gezeigt wurde

kO0 WI= Li.(. g)= NA 4. NE XN* NO †. WD daher: HA+ HB+ HC+ HD) NA+ NB+ NN+ Ni¹C+ NiD d. h. das kürzeste unter den Verbindungssystemen mit zwei Nebenpunkten ist kürzer als die beiden Diagonalen, also als das kürzeste unter den Systemen mit oinem Nebenpunkt.

Es muss nun noch dieses Verbindungssystem mit den Systemen der ersten Art verglichen werden. Zu diesem Zweck fälle man von B die Lote BS und BT auf AiD' und DiF, von C Lote CU und CV auf DiF und DiCi, dann mit(Fig. 11)

B8+ B1+ CU+ cV GA8+ B0+ cD Aus dem gleichseitigen Dreieck DiAlE ist aber: B8S+ BT= NA+ NB+ Nú. und ebenso aus dem gleichseitigen Dreieck Di0. CV+ CU= NiD+. Nio+ N:G. folglich BS BT J. CUI- CV= AN BN. NNI. CNI. DN daher: AN+ BN+ NNIL ñ+ CNI+ DNi(AB+ B0+. Bb.

Der Beweis ist derselbe für drei andere Seiten des aus den vier Punkten gebildeten Vierecks. Man hat jetzt nur noch nachzuweisen, dass das aus zwei anstossenden Seiten und der von der gemeinsamen Ecke ausgehenden Diagonale gebildete Verbindungssystem ebenfalls grösser ist als das kürzeste der dritten Art. Dieser Nachweis lässt sich aüf einfache Weise durch geometrische Schlüsse führen. Es ist nämlich

AB+ B0+ DB) aAC DB denp AB+ B0) AC, folglich AB+ B0+† DB grösser als die beiden Diagonalen, d. h. um so mehr grösser als das kürzeste Verbindungssystem der dritten Art.

Es ergibt sich daher aus den bisherigen Untersuchungen folgendes Resultat: Das kürzeste Verbindungssystem zwischen vier Punkten der Ebene ist ein System von fünf geraden Linien, die je 120° mit einander bilden und bei welchem die Strecken, die von den gegenüberliegenden Ecken ausgehen, zu einander parallel sind.

Diese Eigenschaft der Strecken führt dazu, eine bestimmte Lage der vier Punkte von den weiteren Betrachtungen auszuschliessen. Verlängert man in Fig. 13a die Strecke 12, so muss dieselbe, da sie zu ra parallel ist DC, schneiden. Es entsteht daher ein Dreieck ADE, in welchem jeder der Winkel kleiner als α sein muss, also muss auch+ ADC(x sein. Das Gleiche kann für die