d. h. wi+ wAa= w2+f Wa

ferner: W4— WI wz2— W” Durch Addition folgt: wa= wa und durch Subtraction wi= wWs. Aber man hätte dies Resultat auch direkt aus den Gleichungen II ableiten können. Die zwei letzten Gleichungen vop II sind befriedigt für: a) wg= WA; Wg= W. b) wa= wi; w— wa.

Die Bedingung b) ist aber unmöglich, denn es wäre ræ parallel ri und ra parallel ra und man würde in diesem Falle kein Verbindungssystem zwischen den vier Punkten erhalten können.

Fasst man die bisher gewonnenen Resultate zusammen, so findet sich Folgendes: Unter allen Verbindungssystemen mit zwei Nebenpunkten zwischen vier Punkten der Ebene ist dasjenige das kürzeste, bei welchem die beiden Nebenpupnkte so liegen, dass die fünf Verbindungsstrecken ri, rg, ra, ra, rs Winkel von 1200 mit einander bilden, so dass ri und ra ferner ra und ra parallel sind.

Nun handelt es sich darum zu untersachen, welches unter den in Betracht kommenden verschie- denen Arten von Verbindungssystemen das kürzeste ist. Die Entscheidung dieser Frage kann auf geome- trischem Wege getroffen werden und zwar stützt sich der Nachweis auf einen Satz, der für ein ebenes gleichseitiges Dreieck gilt. In einem gleichseitigen Dreieck ist nämlich die Summe der Lote, welche man von einem beliebigen Punkt im Innern auf die 3 Seiten fällt, constant. Nennt man die 3 Lote li, 12, ls so zerfällt, wenn man den Punkt mit den Ecken verbindet, das gleichseitige Dreieck in 3 Dreiecke, welche diese Lote zu Höhen haben.(Siehe Figur 10.) Wenn also a die Seite des gleichseitigen Dreiecks ist, so hat man Folgendes:

24—

21 3=(h+† 2+ 3)

31 4 2

oder: ll+ l.+†f l3= a.= const.

2 = Höhe des Dreiecks.

Ebenso ist in einem Parallelogramm die Summe der Lote, die man von einem Punkt im Innern auf die Seiten fällt constant, nämlich gleich der Summe beider Höhen.

Denkt man sich nun zwischen vier Punkten der Ebene A, B, C, D tünf Linien so gezogen, dass sie je 1200 mit einander bilden, es seien dies die Strecken NNi, AN, BN, DNi, CNi(Fig. 11). In den Ecken A, B, C, D werden Lote auf den Strecken AN, BN, CNi, DNi errichtet. Diese Lote schneiden sich in 4 Punkten Al, Bi, Ci, Di eines Parallelogramms, denn AN parallel NiC, also AiDi parallel B*Oi, ferner BN parallel DNi, also A1Bi parallel CiDi. Von D' wird ein Lot auf NNi gefällt, dieses schneide A1Bi in E und CiBi in F. Auf diese Weise erhält man zwei gleich- seitige Dreiecke AiDiE und DiCiF, denn Winkel Al¹DiE= CiDiF= 60⁰, was aus den Kreisvierecken ANGDi und DNiGDi folgt. Bezeichnet man die Seiten des Vierecks A1BiOiDt mit f und g, so folgt aus Dreieck A1DiE nach dem früher erwähnten Satze

AX BMN NG= 4 3

Aus Dreieck C1OiF DNI CN+. GN= 5 /3