2

das kürzeste Verbindungssystem zwischen 4 Punkten der Ebene« Göttingen 1879, welche mir aber erst nach Vollendung dieser Arbeit in die Hände kam, nichts vorgefunden. In dieser erwähnten Dissertation gelangt K. Bopp zu den gleichen Resultaten wie auch ich in der vorliegenden Arbeit, jedoch ist die Art der Entwicklung eine wesentlich verschiedene.

Unter einem Verbindungssystem zwischen einer bestimmten Anzahl von Punkten ist ein System von Linien, durch welches jeder Punkt mit jedem anderen durch Linien des Systems verbunden ist, zu verstehen. Die Linien des Systems müssen, da es sich um das kürzeste handelt, selbstver- ständlich gerade sein. Zwischen vier Punkten der Ebene sind nun mehrere Arten solcher Verbin- dungssysteme möglich. Zunächst solche, die durch die vier Punkte selbst schon festgelegt sind. Man erhält dieselben, wenn man die vier Punkte durch drei gerade Linien verbindet, und zwar können diese drei Seiten des durch die vier Punkte gebildeten Vierecks sein oder zwei Seiten und eine Diagonale(siehe Figur 4 und 5). Als zweite Art von Verbindungssystemen können wir diejenige petrachten, bei welchen zu den vier Punkten noch ein fünfter, den ich als Nebenpunkt bezeichnen will, hinzutritt(siehe Figur 6). Um die Lage dieses Punktes für das kürzeste Verbindungssystem dieser Art zu bestimmen, hätte man die Aufgabe zu lösen: Vier Punkte sind gegeben, man soll einen fünften finden, so dass die Summe der Entfernungen desselben von den vier Punkten ein Minimum wird. Dieser so gesuchte Punkt fällt mit dem Durchschnittspunkt der beiden Diagonalen zusammen, also ist das kürzeste Verbindungssystem anter denjenigen zweiter Art dasjenige, welches aus den beiden Diagonalen der vier Punkte besteht. Als letzte Art der möglichen Verbindungssysteme ist diejenige anzusehen, bei welcher neben den vier Punkten noch zwei Nebenpunkte vorkommen. Systeme mit mehr als zwei Nebenpunkten können, da es sich um das kürzeste handelt, nicht in Betracht kommen. Wären z. B. drei Nebenpunkte vorhanden(siehe Figur 8), so hätte man zwischen „weien der vier Punkte immer zwei Verbindungswege, von denen aber der eine stets kürzer ist. Wie aus der Figur hervorgeht ist Weg a x z c kürzer als Weg a x y z c, ebenso Weg d y X b kürzer als d y z b. Wir wollen nun untersuchen, welche Lage die zwei Nebenpunkte bei dem kürzesten der Systeme dritter Art haben müssen. Zu diesem Zweck nehme ich zwischen den vier Punkten, die ich mit 1, 2, 3, 4 bezeichnen will, zwei Punkte 5 und 6 an,.drücke die Entfernungen 52, 53, 56, 61, 64 analytisch aus, indem ich die Punkte auf ein rechtwinkeliges Coordinatenssystem beziehe (siehe Figur 9). Die Länge der Strecken bezeichne ich durch r und setze die Zahl desjenigen Punktes, nach welchem die Strecke hinläuft, als Index; die Strecke 56 bezeichne ich mit rs. Werner setze ich an die Coordinaten der festen Punkte diejenigen Zahlen als Index, mit welchen die betreffenden Punkte benannt sind. Nach diesen Festsetzungen ergibt sich:

11=/(X— xi)?2+(ys— y1)²; rz=!/(X— XZ)z+(s— y2)² r= V(s— X2)“+(Gs— ya)2; ra= V(Xs— X4) †(Y— v4*2 1=!U(x— 6)2+(ys— yS)“ Für das kürzeste System muss also der Ausdruck S= r1+ r.+ rz+ r † 15 ein Minimum werden. In demselben kommen vier Variable vor, nämlich XS, ys, XS, ys, es müssten daher folgende Bedingungsgleichungen erfüllt sein:

28 98 98 28 —.—„———— 0

—.— 0 3 X5 0y5 2XG 8 ys