Ueber das kürzeste Verbindungssystem zwischen vier Punkten der Ebeéne.

In der Sammlung des Briefwechsels zwischen Gauss und Schumacher findet sich Band III pag. 13 ein Brief von Gauss an Schumacher vor, in welchem er die von Schumacher behandelte Aufgabe:»Vier Punkte a, b, c, d sind gegeben, man soll einen fünften Punkt x finden, so dass ax+‿ bxæ+ ex+ dx ein Minimum wird« bespricht. Im Anschluss an diese Aufgabe kommt er auf eine allgemeinere, nämlich auf das kürzeste Verbindungssystem zwischen 4 Punkten der Ebene zu sprechen. Ueber diese Aufgabe findet sich in dem Briefwechsel Folgendes vor:»Ist bei einem Viereck nicht von der stricten mathematischen Aufgabe, wie sie oben ausgesprochen ist, sondern von dem kürzesten Verbindungssystem die Rede, so werden mehrere einzelne Fälle von einander unterschieden werden müssen, und es bildet sich so eine recht interessante mathematische Aufgabe, die mir nicht fremd ist, vielmehr habe ich bei einer Eisenbahnverbindung zwischen Harburg. Bremen, Hannover, Braunschweig sie in Erwägung genommen.« Die Möglichkeit verschiedener Fälle sucht er durch die Figuren 1, 2, 3 Tafel I, wo in der 3ten Figur die Verbindung von e nach d direkt gehen muss, zur Anschauung zu bringen. Obgleich Gauss in diesem Briefe andeutet, dass er später noch einmal auf diese Aufgabe zurückkommen wird, so hat er dies nicht gethan, denn ausser einer, die Aufgabe betreffenden Anfrage von Schumacher findet sich in der ganzen Sammlung der Briefe hierüber nichts mehr vor. Schumacher sah sich zu der erwähnten Anfrage veranlasst, da er annahm, Fall 3 sei durch ein bestimmtes Gewicht der Verbindung bedingt und keine Folge der gegenwärtigen Lage der Punkte. Die Aufgabe, wie sie von Schumacher scheinbar aufgefasst wird, ist eine ganz andere als die von Gauss gestellte. Sie würde auch eine complicirtere werden, da beim Aufsuchen des Minimums die einzelnen Strecken noch mit einem Factor, der das Gewicht vorstellt, multiplicirt werden müssten. Ueber die Behandlung dieses Gauss'schen Problems habe ich in der mir zur Verfügung gestandenen mathematischen Litteratur ausser einer Dissertation von K. Bopp»Ueber

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