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Aufg.: In dem Dreieck DFK finden wir durch Meſſung DF= 23,47 m, FR= 16,72 m und ₰ DKF= 72⁰55; KD, ₰ KFD und ₰ FDk ſind zu berechnen. Hier wird in erſter Linie nach dem Sinusſatze ₰ D berechnet mit Hülfe der Gleichung:
sin D= sin K. 29 Dann ergiebt ſich D= 42⁰55. Da dieſer mittelſt der Sinusfunktion ge⸗
funden worden iſt, ſo iſt zu unterſuchen, ob nicht auch ſein Supplement D= 137⁰5“ hier eine brauchbare Löſung bietet. Da aber d=— k iſt, ſo muß auch D= ₰ K ſein, folglich liefert nur der ſpitze Winkel D eine Löſung der geſtellten Aufgabe. Für die anderen fehlenden Stücke er— hält man dann F= 64⁰10“ und f= 22,10 m. Die Kontrollmeſſung zeigt ₰ F= 64⁰10“ f= 22,11 m. W
Iſt das Dreieck durch zwei Seiten und den Gegenwinkel der kleineren gegeben, ſo iſt ſie, wie die Schüler ſchon von den Konſtruktionsaufgaben her wiſſen, zweideutig. Dies muß ſich trigonometriſch beſtätigen. Das Polygon gibt mannichfache Gelegenheit, Dreiecksaufgaben ſo auszuwählen, daß in dieſem Falle beide Löſungen ſich auch vorfinden. Wir wählten:
Aufg.: Im Dreieck DEI werden gemeſſen DE= 1, LD= e und ₰ DLE= L; die fehlenden Winkel und Seite ſollen berechnet werden.
Die Meſſung ergibt: 1= 22,05 m, e= 26,40 m und ₰ L.= 37 45.
Der Winkel E wird mit Hülfe des Sinusſatzes zweideutig beſtimmt: 2 E= 47⁰8“ und ₰ E= 132052“, beide Löſungen ſind brauchbar, denn es muß E= I ſein, weil e— 1 iſt. Als ₰³ E zeigt das Polygon ₰ LKD und als Löſungen der Aufgabe die Dreiecke LDE und LDK.
Dieſe Aufgabe kann man nun an dem Polygone variieren, indem man an Stelle von I. die Punkte M, A oder N ſetzt. Eine andere Gruppe ſolcher Aufgaben für dieſen Fall erhält man, wenn man von den Dreiecken ACK und ACM ausgeht und A durch E, J oder N erſetzt; oder von A△ LEE und △ LKF aus und für L die Punkte M, A oder N nimmt.
So hat man genügende Auswahl für die aufeinanderfolgenden Kurſe ſowohl, als auch für häusliche und praktiſche Übungsaufgaben der Schüler.
Der Entwickelung des Koſinusſatzes folgen dann zur Anwendnng und Einübung desſelben wieder dem Polygone entnommene Aufgaben, die ſich dem erſten Kongruenzſatze anſchließen.
Aufg.: Zur Berechnung der Entfernung von J bis F werden gemeſſen: GJ= 17,31 m, FG= 15,10 m und ₰ JGF= 24055“, die Rechnung ergibt JF= 7,31 m; die Kontrollmeſſung IJF= 7,29 m.
Um einen ſtumpfen Winkel zu haben, wählen wir die
Aufg.: Die Strecke EC iſt zu berechnen, wenn gemeſſen werden CD, DE und ₰ EDC.
Man mißt: CD= 21,74 m, DE= 22,05, ₰ EDC= 116˙20“ und ſindet durch Rechnung EOC= 37,21 m, während die Kontrollmeſſung EC= 37,16 m angibt.
Die dem dritten Kongruenzſatze entſprechende
Aufg.:„Die Winkel in △ AkKll zu berechnen, wenn die drei Seiten desſelben gemeſſen werden“ wendet ebenfalls den Koſinusſatz an, indem ſie daraus die fehlenden Winkel berechnet.
Nachdem den Schülern gezeigt worden iſt, daß die vier Hauptfälle der Dreiecksaufgaben mittelſt Sinus⸗ und Koſinusſatz gelöſt werden können, und nachdem die Schüler ſelbſt die Unbequemlichkeit der Verwendung des Koſinusſatzes für logarithmiſche Rechnung erfahren haben, werden als Erſatz der Tangentenſatz: