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werden, praktiſch an Beiſpielen geübt und befeſtigt werden müſſen. Man ſpricht zwar von der An⸗ wendung der Infiniteſimalrechnung auf mathematiſche Phyſik. Aber wer erlaubt denn der Schule in der Phyſik mehr als nur die allernotwendigſten elementar⸗mathematiſchen Rechnungen auszuführen? Wo ſoll denn ferner für die mathematiſche Behandlung der Phyſik die Zeit herkommen, da man ihr erſt ſeit nicht allzu langer Zeit die für experimentelle Behandlung erforderlichen 2 Stunden wöchentlich zugeſtanden hat?
Eine weitere Frage, die freilich in der uns vorliegenden Litteratur nicht eingehender berührt wird, iſt die, ob die Gleichungen 3. und 4. Grades beizubehalten ſind, und thun wir derſelben beſonders des⸗ halb Erwähnung, weil dieſelben vielfach in unſern Lehranſtalten, obwohl ſie in den Lehrplan der heſſiſchen Gymnaſien nicht ausdrücklich aufgenommen ſind, einen Gegenſtand des Primaunterrichtes bilden. Wir glauben, der Nutzen derſelben iſt nicht allzu hoch anzuſchlagen, wenn man bedenkt, wie die Löſung derſelben zu ſtande gebracht wird. Man giebt in der erſten Stunde,— und mehr als 1 Stunde hat man meiſt kaum nötig—, die allgemeine Löſungsmethode an, entwickelt auf Grund derſelben die Formeln für die Wurzeln, ganz wie es, allerdings einfacher, bei den quadratiſchen Gleichungen bereits geſchehen iſt, und bewerkſtelligt die Löſung der einzelnen Aufgaben, indem man die Wurzeln ganz mechaniſch durch die gegebenen Formeln berechnet. Da nun die Löſungsmethoden zu künſtlich ſind, ſo bleibt dem Lehrer meiſt nichts andres übrig, als ſelbſt dieſelben vorzutragen; er wird bei dieſen Entwickelungen die Schüler nur wenig zu eigener Thätigkeit anregen und bei der auszuführenden Rechnung mithelfen laſſen können. Von einem beſonderen Werte dieſer höheren Gleichungen kann ſomit nicht gut die Rede ſein, ja ſie werden für das Wiſſen und Können des Schülers, der zudem Anwendungen dieſer Gleichungen ſchwerlich einmal zu machen hat, ziemlich gleichgiltig ſein können.
Anders ſteht es mit der Auflöſung der diophantiſchen Gleichungen. Man giebt allerdings auch hier zuerſt die allgemeine Löſungsmethode, dieſelbe ermöglicht jedoch noch nicht die Aufſtellung einer allgemeinen Formel für die Wurzeln der Gleichung. Jede einzelne Aufgabe muß ſomit nach den bereits gegebenen allgemeinen Anleitungen für ſich gelöſt werden, und bietet hier faſt jede einzelne Aufgabe dem Schüler neue Geſichtspunkte für die Löſung und eine geſchickte Anordnung derſelben. Dazu kommt noch ihre Bedeutung für das Verſtändnis der Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Sie erſt ſetzen ein Syſtem von ſolchen Gleichungen, die Bedingungen ſeiner Lösbarkeit, die Unbeſtimmtheit und Über⸗ beſtimmtheit ſolcher Syſteme ins rechte Licht.
Hieran läßt ſich die Beſprechung deſſen, was aus der Zahlentheorie dem Schüler mitgeteilt werden ſoll, anknüpfen, und zwar handelt es ſich hier um die Behandlung der Zahlenkongruenzen, deren Kennt⸗ nis für die Löſung der diophantiſchen Gleichungen wichtig iſt. Unſerer Anſicht nach iſt es am zweck⸗ mäßigſten, dieſelben nicht beſonders durchzunehmen, ſondern da, wo ſie ihre Anwendung finden, alſo im Anſchluß an die diophantiſchen Gleichungen. Es veranlaßt uns hierzu einmal die Erwägung, daß man ſie bei dieſer Gelegenheit in der kürzeſten Zeit wird durchnehmen können, dann aber auch der Umſtand, daß der Schüler ſich die für ihn notwendigen Kenntniſſe aus dieſem Gebiete hier um ſo ſicherer wird aneignen können, als er gleich Gelegenheit zu vielſeitiger Anwendung und Verarbeitung des Gelernten geboten bekommt.
Die Einführung in die Lehre von den Determinanten ſoll nach den aufgeſtellten Forderungen im Anſchluß an die Gleichungen 1. Grades mit mehreren Unbekannten erfolgen. Wenn die Determinanten nun für den Mathematiker von Fach ein unentbehrliches Handwerkszeug geworden ſind, ſo rechtfertigt dies noch nicht ihre Einführung in die Schule, die, wenigſtens ſo weit wir es überſehen können, einen beſonderen Nutzen aus dieſer Disciplin nicht zu gewinnen vermag. In der Determinantenlehre wird ſtatt mit ausgeführten algebraiſchen Ausdrücken mit für dieſelben eingeführten Symbolen gerechnet, die