Fläche entsteht, aber sie werden, da sie nicht imstande sind, eine Fläche aus ihrem 2-di- mensionalen„Raum““ hinauszubewegen, von den 3-dimensionalen Raumgebilden ebenso wenig eine anschauliche Vorstellung gewinnen können, wie wir von den Gebilden eines 4-dimensionalen Raums. Bei der geometrischen Vermessung ihres Raumes, der Fläche, auf der sie leben, werden sie, von Stelle zu Stelle fortschreitend, wie jener Feldmesser einen sehr kurzen Maßstab gebrauchen müssen. Damit werden sie finden, daß unter allen Ver- bindungslinien zwischen 2 Punkten ihrer Fläche eine die kürzeste ist, und da sie diese Erfahrung immer wieder, an jeder Stelle ihrer Fläche machen, werden sie zum Begriffe der kürzesten Linie gelangen. Den Begriff der geraden Linie dagegen würden sie nur dann bil- den können, wenn die von ihnen bewohnte Fläche gerade eine Ebene wäre. Dann und nur dann würden sie finden, daß durch zwei Punkte eine und nur eine Gerade bestimmt ist, daß durch einen Punkt außerhalb einer Geraden zu dieser eine und nur eine Parallele möglich ist, daß sie bei Fortbewegung in einer und derselben Richtung niemals an den Ausgangspunkt oder an eine Grenze gelangen, daß die Winkelsumme eines Dreiecks ge- rade zwei Rechte ist u. a. mehr, lauter Erkenntnisse der Euklidischen Geometrie. Leben sie aber auf einer beliebigen krummen Fläche, so werden sie, da die EFuklidische Geometrie nur in kleinen, genauer in infinitesimalen Bereichen einer krummen Fläche gilt, eine all- gemeinere Geometrie entwickeln. Für Kugelbewohner treten an die Stelle der geraden Linien die geradesten oder geodätischen Linien der Kugel, d. h. Bogen größter Kugel- kreise. Aber für sie besteht nicht mehr das Axiom, daß sich durch zwei Punkte nur eine einzige geradeste Linie legen läßt, denn je zwei Punkte der Kugelfläche können durch zwei geradeste Linien verbunden werden, die beiden einander zu einem Vollkreise er- gänzenden Bogen des durch die Punkte gehenden größten Kugelkreises. Auch der Satz der Euklidischen Geometrie, daß sich 2 Punkte nur durch eine einzige kürzeste Linie verbinden lassen, trifft für sie nicht ausnahmslos zu, da sich durch Diametralpunkte der Kugelfläche, z. B. Nord- und Südpol, unzählig viele kürzeste Linien, die Meridiane, legen lassen. Ebenso gilt für die Kugelbewohner das Parallelenaxiom nicht, denn es können keine geradesten Linien aufgefunden werden, die sich bei ausreichender Verlängerung nicht schneiden. Daher werden viele Sätze der Euklidischen Geometrie für die Kugelbewohner nicht gültig sein. So tritt an die Stelle des bekannten Satzes über die Winkelsumme im Dreieck für sie der Satz, daß die Summe der Winkel eines Kugeldreiecks größer als 180⁰ ist und diesen Wert umso mehr übertrifft, je größer der Inhalt des Dreiecks ist, So daß z. B. von zwei gleichseitigen Dreiecken dasjenige mit der längeren Seite auch den grö- ßeren Winkel besitzt. Daraus folgt, daß die Kugelbewohner die Aehnlichkeitslehre von Figuren nicht werden entwickeln können. Dagegen werden sie zum Begriff der Kongru- enz von Polygonen gelangen, da sie auf ihrer Fläche Dreiecke bewegen können, ohne ihre Gestalt abändern zu müssen. Wir sehen also, diese Kugelbewohner werden auf Grund der besonderen Art ihres Wohnraumes eine von der Euklidischen Geometrie durchaus verschiedene Geometrie entwickeln, deren wichtigstes Merknial ist, daß ihr das Parallelen-— axiom und der Aehnlichkeitsbegriff fehlt. Wohnten die Flächenwesen auf der Oberfläche eines Ellipsoids, so würden sie nicht einmal zum Begriff der Kongruenz gelangen; wür- den sie nämlich an verschiedenen Stellen der Fläche gleichseitige Dreiecke aus lauter gleich langen Bogen von geodätischen Linien, wie sie durch die Natur dieser Fläche bestimmt sind, herstellen, so würden sie finden, daß die Winkel dieser Dreiecke ungleich sind, und zwar größer an denjenigen Stellen, die wir als stärker gekrümmt bezeichnen, und kleiner an den schwächer gekrümmten Stellen. Sie würden also feststellen, daß sich ein Dreieck ohne Veränderung seiner Seiten und Winkel nicht von einer Stelle ihres Wohn- raums zu einer anderen bewegen läßt, mit anderen Worten, daß ihrem Wohnraum neben den geodätischen Linien noch eine andere fundamentale Eigenschaft zukommt, die wir mit unserer 3-dimensionalen Raumanschauung als seine Krümmung bezeichnen und, wie bei der Kugel durch den Kugelradius, mit Hilfe der dritten Dimension des Raumes auschaulich erfassen und begrifflich erklären. Obwohl sie aus ihrer Fläche nicht hinaustreten können, werden sie doch, wie dies Gauss in seinen berühmten„Disquisitiones generales circa su- perficies curvas“ gezeigt hat, zum Begriff der Flächenkrümmung gelangen können. Daß das möglich ist, können wir uns mit elementaren Mitteln folgendermaßen verständlich machen. Zwölf gleichlange, undehnbare Fäden kann man auf einer Ebene so ausspannen, daß sie

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