der kleinsten Quadrate, über Allgemeine Flächentheorie und über die Theorie der konfor- men Abbildungen. Auch bei der letzten Abhandlung wollen wir versuchen, uns das Problem klar zu machen.

Die Herstellung von Landkarten besteht in der Aufgabe, Teile der Erdoberfläche auf der Ebene des Zeichenpapieres abzubilden. Diese Aufgabe wäre leicht zu lösen, weun die Erdoberfläche selbst eine Ebene oder eine auf eine Ebene abwickelbare krumme Fläche, z. B. eine Zylinder-oder Kegelfläche, wäre. Nun ist aber die Erdoberfläche in erster Annäherung kugelförmig, und, da die Oberfläche einer Kugel nicht auf eine Ebene abge- wickelt werden kann, ist es unmöglich, auch nur einen kleinen Teil der Erdoberfläche auf einer Ebene zeichnerisch darzustellen, ohne daß man die Entfernung der einzelnen Punkte voneinander und die Winkel zwischen je dreien von ihnen ändert. Will man nun in der Abbildung die Entfernung der Punkte möglichst wenig ändern, so muß man eine winkeltreue oder konforme Abbildung wählen, d. h. eine Abbildung, bei der alle in ihr vorkommenden Winkel den entsprechenden Winkeln des Abgebildeten gleich sind, bei der also Aehnlichkeit in den kleinsten Teilen besteht. Es handelt sich hier also darum, die- jenigen Gleichungen zu ermitteln, durch die die Kugel konform auf die Ebene abgebildet wird. Diese Aufgabe ist lange vor Gauss von Lambert, der auch den Begriff der kon- formen Abbildung schuf, gelöst worden, während der in Turin gebürtige französische Ma- thematiker Lagrange um der praktischen Anwendung willen die Untersuchungen auf be- liebige Rotationsflächen ausgedehnt hat. Eine endgültige Lösung fand das Problem der konformen Abbildung aber erst durch Qauss, der, angeregt durch seine umfangreichen praktischen geodätischen Arbeiten und veranlaßt durch eine von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften in Kopenhagen gestellte Preisaufgabe, im Jahre 1825 seine berühmte Abhandlung über konforme Abbildungen veröffentlichte, in der das Problem unter Hervor- kehrung rein mathematischer Gesichtspunkte in seiner allgemeinsten Fassung, nämlich die konforme Abbildung zweier ganz beliebiger krummer Flächen aufeinander, behandelt wird.

In der geodätischen Periode fand auch Gauss' berühmte Messung großer Drei- ecke statt. Es handelt sich um die Winkelmessung des Dreiecks zwischen den Spitzen der drei Berge Brocken, Hohe Hagen(bei Göttingen) und Inselsberg. Gauss wollte durch diese Messung einen Satz der Euklidischen Geometrie an der Erfahrung prüfen, den Satz nämlich, daß die Winkelsumme eines Dreiecks 1800 beträgt. Zweifelte denn Gauss an der Richtigkeit dieses Satzes, den jeder Quartaner beweist, indem er durch eine Drei- ecksecke zur gegenüberliegenden Seite die Parallele zieht und die Winkel an dieser Pa- rallelen bestimmt? Zweifelte er an der Richtigkeit der Euklidischen Geometrie, an der seit dem Altertum niemand gezweifelt hatte, die Kant durch seine Kritik der reinen Ver- nunft sogar als a priori, d. h. aus reiner Vernunft stammend, richtig erklärt und sozusagen heiliggesprochen hatte? Analysiert man die Beweise für den Winkelsatz des Dreiecks, so wird man finden, daß bei allen der Satz gebraucht wird, daß man durch einen Punkt außerhalb einer Geraden zu dieser immer eine, aber auch nur eine Parallele ziehen kann. Diesen Satz hat man, wie man bei Bonola,„die Nichteuklidische Geometrie“, nachlesen kann, immer wieder zu beweisen versucht, ohne zum Ziel zu gelangen. Auch Gauss hat sich mit der Frage nach der Beweisbarkeit dieses Satzes beschäftigt, wie sein Tagebuch zeigt. Sein Nachlaß hat uns darüber aufgeklärt, daß er spätestens 1816 im Besitze der Erkennt- nis war, daß der Parallelensatz unbeweisbar, mithin ein geometrisches Axiom ist. In Ver- folg dieser Untersuchungen hat nun Gauss die Nichteuklidische Geometrie entwickelt, wo- mit man Geometrien bezeichnet, die von dem Euklidischen Parallelenaxiom absehen.

Wir wollen nun versuchen, uns den Begriff der Nichieuklidischen Geometrie klar zu machen und denken uns zu diesem Zwecke nach dem Vorbilde von Helmholtz ver- standesbegabte, an der Oberfläche eines beliebigen Körpers lebende Wesen, die sich in der Struktur ihres Geistes von uns Menschen nur dadurch unterscheiden, daß sie nicht wie wir den Raum nach seinen drei Richtungen hin anschaulich zu erfassen vermögen, sondern mit ihren Wahrnehmungen an die Vorgänge innerhalb der Fläche, auf der sie leben, gebunden bleiben. Diese Flächenwesen werden sich dauernd ungefähr in der Lage eines Feldmessers befinden, der bei der Vermessung eines hügeligen, von dichtem Walde überdeckten Geländes seine Visierinstrumente nicht mehr gebrauchen kann, sondern nur auf das Meßband angewiesen ist. Zwar werden sie gleich uns Menschen finden, daß durch Bewegung eines Punktes eine Linie und durch Bewegung einer Linie im allgemeinen eine

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