habe sich seitdem allgemein überredet, daß das Gebiet der Elementargeometrie sich nicht weiter erstrecke: Wenigstens kenne ich keinen geglückten Versuch, ihre Gren- zen auf dieser Seite zu erweitern. Desto mehr dünkt mich, verdient die Entdeckung Aufmerksamkeit, daß außer jenen ordentlichen Vielecken noch eine Menge anqderer, z. B. das Siebzehneck, einer geometrischen Konstruktion fähig ist. Diese Entdeckung ist eigentlich nur ein Corollarium einer noch nicht ganz vollendeten Theorie von grô- Berem Umfange, und sie soll, sobald diese ihre Vollendung erhalten hat, dem Publi- cum vorgelegt werden. C. F. Gauss aus Braunschweig, Stud. der Mathematik zu Göt- tingen.“

Dieser Veröffentlichung ist zum Verständnis der Geschichte des Problems der Kreisteilung kaum etwas hinzuzufügen. Die Griechen, die sich seit Platon lebhaft mit der Frage beschäftigt hatten, welche regelmäßigen Polygone sich mit Zirkel und Lineal kon- struieren lassen, wußten bereits, daß alle Polygone, deren Eckenanzahln- 2%, 3, 5(bei ganzzahligem h) und n— 2 3, n—= 2½b. 5, n= 26. 3.5 ist, derartig präzisionsgemäß konstruiert wer- den können. Zwischen ihnen und Gauss klafft nun ein Zeitraum von mehr als 2000 Jahren, in dem das Problem der Kreisteilung trotz vieler vergeblicher Versuche auch nicht einen Schritt weitergeführt werden konnte. Gauss aber brachte es mit einem Schlage zum Abschluß, indem er bewies, daß außer den eben genannten Polygonen noch alle diejeni- gen konstruierbar sind, deren Eckenanzahl Primzahlen von der Form p= 229+ sind, unter n eine natürliche Zahl(einschließlich O) verstanden. Welche sind das? Fürn= 0, 1, 2, 3, 4 ergibt diese Formel wirklich Primzahlen, nämlich 3, 5, 17, 257, 65537. Die Kon- struktion des regelmäßigen 3-Ecks(gleichseitiges Dreieck) und des regelmäßigen 5-Ecks (durch den goldenen Schnitt) war bereits im Altertum bekannt, während die Möglichkeit der Konstruktion regelmäßiger Vielecke mit 17, 257, 65537 Seiten hiermit zum ersten Mal bewiesen war. Uebrigens ist Fermats Behauptung, jene Formel für p liefere stets eine Prim- zahl, unrichtig. Obwohl man auch heute noch nicht weiß, für welche Wertenn sie auf eine Primzahl führt, ist doch bekannt, daß sie für n= 5(Euler), 6, 12, 23, 36 zusam- mengesetzte Zahlen gibt. Fünf Jahre später schließlich veröffentlichte Gauss in den„Dis- quisitiones arithmeticae“ den Beweis dafür, daß Polygone, deren Eckenanzahl sich nicht auf die obige Primzahlform bringen läßt, auch nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können. Dieser sogenannte Unmöglichkeitsbeweis beruht auf folgendem Gedan- ken: Jede mit Zirkel und Lineal konstruierbare Strecke läßt sich wie etwa die Zehneck- seite-* 1 5— 1) oder die Zwölfeckseiterr 2—3 durch einen Ausdruck darstellen, der

aus einer endlichen Anzahl von übereinanderstehenden Quadratwurzeln besteht; umge- kehrt lassen sich alle solche Quadratwurzelausdrücke, aber keine anderen, mit Zirkel und Lineal konstruieren. Die Seite eines regelmäßigen n-Ecks wird sich also nur dann prä— zisionsgemäß mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen, wenn die Wurzeln der für das n-Eck charakteristischen Gleichung— 1= O durch Quadratwurzelausdrücke darstellbar sind. Gauss konnte nun zeigen, daß diese Gleichung nicht durch Quadratwurzelausdrücke auf- lösbar ist, wenn ihr Exponent eine in der obigen Form nicht enthaltene Primzahl ist. Da die Primzahl 7 in dieser Form nicht geschrieben werden kann, ist auch die Konstruktion des regel- mäßigen Siebenecks, um die sich die Griechen sehr bemüht hatten, nicht möglich. Wir sehen, wie Gauss mit seiner Entdeckung. des Prinzips der Kreisteilung ein Jahrtausende altes Prob- lem zum Abschluß gebracht hat, das gleicherweise der griechischen wie der abendlän- dischen Kulturperiode angehört hat. Gauss hat es Mathematikern niederen Grades überlas- sen, die Konstruktionen, deren Möglichkeit er bewiesen hatte, auszuführen. So hat ein Schü- ler Richelots, der selber die Konstruktion des 257-Ecks ausgeführt hat, sieben Jahre seines Lebens der Konstruktion des regelmäßigen 65537-Ecks geopfert. Seine Manuskripte über die Lösung dieser Aufgabe füllen einen Reisekoffer, eine Sehenswürdigkeit des mathema- tischen Seminars der Universität Göttingen.

Mit der Entdeckung des Kreisteilungsprinzips begann, wie man beim Durch- blättern des Tagebuchs erkennt, eine 5 Jahre währende Periode größter mathematischer Produktivität. Gauss' Untersuchungen auf dem Gebiete der Zahlentheorie und der ellipti- schen Funktionen, verschaffen ihm in der wissenschaftlichen Welt einen solchen Namen, daß ihn schon im Alter von 23 Jahren die Petersburger Akademie der Wissenschaften zu ihrem korrespondierenden Mitglied ernannte. In die weite Oeffentlichkeit drang sein Ruhm,

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