satzes der Algebra behandelt, über den Wert der komplexen Zahl a+— bi nicht sehr be- stimmt geäußert hat, wenn er auch die von ihm angekündigte Rechtfertigung der Einfüh- rung der komplexen Zahlen niemals gegeben hat, so ist er doch, wie seine vielseitigen Anwendungen der komplexen Zahlen auf die Algebra und Zahlentheorie beweisen, tief in das Wesen dieser Zahlen eingedrungen. Seine wissenschaftliche Autorität gab den kom- plexen Zahlen das Bürgerrecht im Reiche der Zahlen. Bekannt ist seine zuerst in der Doktordissertation benutzte geometrische Interpretation der komplexen Zahlen durch punkte einer Ebene. So wie man die reellen Zahlen der Reihe nach durch die rechts oder links vom Nullpunkt gelegenen Punkte einer Geraden, der reellen Zahlenachse, ab- bildet, so bildet man seit Gauss jede positive imaginäre Zahl bi durch einen Punkt oben, jede negative imaginäre Zahl durch einen Punkt unten auf der imaginären Zahlenachse ab, einer Geraden, die selbst senkrecht zur reellen Zahlenachse durch den Nullpunkt ge- legt wird. Jede komplexe Zahl a— bi ist somit durch einen Punkt der Gauss'schen Zah- lenebene umkehrbar eindeutig abgebildet. So wie der Tertianer die Rechenoperationen mit reellen Zahlen begrifflich definiert und in ihrem Zusammenhang logisch erfaßt, so hat es Gaussi mit den komplexen Zahlen unter anschaulicher Deutung getan und da- durch die Gleichwertigkeit der komplexen mit den reellen Zahlen gezeigt, so daß jetzt auch der Primaner nichts Mystisches mehr darin findet, daß die reellen Zahlen ein Sonderfall der komplexen Zahlen sind.
Der Fundamentalsatz der Algebra sagt nun aus, daß jede algebraische Gleichung n. Grades im allgemeinen n verschiedene komplexe Wurzeln hat. Solange man sich auf die reellen Zahlen beschränkte, konnte man nur aussagen, daß die Gleichung n. Grades höchstens n Wurzeln hat, möglicherweise also auch weniger oder keine. Wir sehen also, daß es erst durch die Einführung der komplexen Zahlen möglich geworden ist, den Fun- damentalsatz allgemein auszusprechen. Die Richtigkeit des Fundamentalsatzes für die all- gemeine Gleichung 3. und 4. Grades ist dadurch bewiesen, daß für diese Gleichungen ebenso wie für die quadratische Gleichung eine Methode zur Gewinnung expliziter alge- braischer Ausdrücke für die Wurzeln besteht. Bei der besonderen Gleichung 3. Grades
X— 1= 0 2. B., deren linke Seite den Teiler X— 1 hat, erhält man die 3 Wurzeln durch Nullsetzen der Faktoren x— l und+†+ 1. in die ε1 zerlegbar ist. Sie sind x=. 1,—— 1+ ‿ und——— Für die allgemeinen Gleichungen
von höherem als dem 4. Grade bestehen solche Methoden, wie es Gauss 1790 erkannt und der norwegische Mathematiker Abel 1821 zuerst bewiesen hat, nicht, und die Exi- stenz der n Wurzeln muß daher auf andere Weise erschlossen werden. Viele Versuche, den Fundamentalsatz zu beweisen, sind vor Gauss unternommen worden. Alle waren er- folglos; erst Gauss löste das Problem. Im ganzen hat er im Zeitraum von 50 Jahren 4 Beweise für den Fundamentalsatz der Algebra veröffentlicht, den letzten, der sich wie- der auf den Grundgedanken des ersten und besten aufbaut, zur Feier seines 50-jäh- rigen Doktorjubiläums im Jahre 1849. Alle sind so abstrakt, daß sie hier nicht bespro- chen werden können; es mag nur noch die Bemerkung hinzugefügt werden, daß Gauss mit der Einführung der komplexen Zahlenebene die Grundlage für eine Funktionentheorie komplexer Variabeln geschaffen und dadurch der Funktionentheorie bis auf den heutigen Tag die Richtung gewiesen hat.
Wir kehren nun zu der ersten Eintragung Gauss' in sein Tagebuch zurück, die sich auf die geometrische Teilbarkeit des Kreises in 17 gleiche Teile bezieht. Diese früh- zeitige bedeutende Entdeckung, an die ein mit dem Sternsiebzehneck geschmückter Denk- stein die Besucher der Vaterstadt von Gauss erinnert, veröffentlichte der junge Göttinger Student in dem Intelligenzblatt der allgemeinen Jenaer Literaturzeitung vom 1. Juni 1796 mit folgenden Worten:
„Es ist jedem Anfänger der Geometrie bekannt, daß verschiedene ordentliche Vielecke, namentlich das Dreieck, Fünfeck, Fünfzehneck und die, welche durch wie- derholte Verdoppelung der Seitenzahl eines derselben entstehen, sich geometrisch kon- struieren lassen. So weit war man schon zu Euklid's Zeit, und es scheint, man
Die von dem Dänen Caspar Wessel schon 1797 der dänischen Akademie eingereichte Abhandlung über die graphische Darstellung der komplexen Zahlen ist bis in die neuste Zeit hinein unbekannt geblieben.
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