Grundlegung der modernen Zahlentheorie. In den folgenden sechs Jahren baute er sie aus und übergab sie 1801 mit seinen berühmten„Disquisitiones arithmeticae“, einem Mei- sterwerk der mathematischen Wissenschaft, der Oeffentlichkeit. Hierin werden die Prim- zahlen und die zusammengesetzten Zahlen vor allem auf ihren multiplikativen Zusammen- hang hin untersucht. Gauss gibt darin auch den Beweis des schönen Satzes, daß jede Primzahl, die bei der Division durch 4 den Rest 1 gibt, sich auf eine und nur eine Weise in die Summe zweier Quadratzahlen zerlegen läßt, eines Satzes, der schon Fermat, 50 Jahre vor Gauss, ohne Beweis bekannt war. Von der Richtigkeit dieses Satzes über- zeugt man sich in Einzelfällen leicht, z. B. an den die Voraussetzung dieses Satzes er- füllenden Primzahlen 5, 13, 17, 37, 41, die sich nur einmal als Summe zweier Qua- dratzahlen 5= 22+ 12, 13= 22+ 3 2 usw. darstellen lassen. Zum Beweise braucht man aber die von Gauss entwickelten Begriffe der höheren Zahlentheorie.

Die weiteren mathematischen Untersuchungen, die Gauss als Primaner des Braun- schweiger Gymnasiums ausführte, sind so abstrakter Natur, daß Schüler sie nicht verste- hen können. Als er mit 18 Jahren die Universität Göttingen bezog, konnten ihm dort die mathematischen Vorlesungen, da Gauss ihr Niveau längst überschritten hatte, nichts mehr bieten. Bald nach seiner Ankunft in Göttingen machte er, seine Untersuchungen eif- rigst fortsetzend, beim Studium der mathematischen Fachliteratur der Universitätsbibliothek die Entdeckung, daß viele der von ihm entdeckten Sätze schon bekannt, von ihm also wiederentdeckt worden waren. Hören wir darüber seine eigenen Worte aus einem Briefe vom 15. Oktober 1795 an seinen Lehrer in Braunschweig, den Hofrat Zimmermann:

„lch habe die Bibliothek besehen, und ich verspreche mir davon einen nicht geringen Beitrag zu meiner glücklichen Existenz in Göttingen. Ich habe schon mehrere Bände von den Commentariis Academiae Scientiarum Petropolitanae im Hause, und eine noch größere Anzahl habe ich durchblättert. Ich kann nicht leugnen, daß es mir sehr unangenehm ist zu finden, daß ich den größten Teil meiner schönen Eat- deckungen in der unbestimmten Analytik nur zum zweiten Male gemacht habe. Was mich tröstet, ist dieses: Alle Entdeckungen Eulers, die ich bis jetzt gefunden habe, habe ich auch gemacht und noch einige mehr. Ich habe einen allgemeineren und, wie ich glaube, natürlicheren Gesichtspunkt getroffen; ich sehe noch ein unermeß- liches Feld vor mir, und Euler hat seine Entdeckungen in einem Zeitraum von vielen Jahren nach manchen verhergegangenen Tentaminibus gemacht.“

Wir sehen daraus, daß nun in ihm, der sich zuerst mit dem Plan getragen hatte, Philologie zu studieren, der Entschluß reifte, sich der Mathematik endgültig zuzuwen- den. Hinzu kam die bedeutende Entdeckung von der Möglichkeit der geometrischen Teil- barkeit des Kreises in 17 gleiche Teile. Wir sind über den Entwicklungsgang von Gauss von jetzt ab genau im Bilde durch sein Tagebuch, ein unscheinbares Heftchen, das Gauss vom 19. Jahre ab mit Angabe von Daten geführt hat. Die erste Eintragung er- folgte am 30. März 1790 und bezieht sich nur die Konstruktion des regelmäßigen Sieb- zehneckes. Wir erkennen weiter daraus, daß ihn neben diesem Problem vor allem der Fun- damentalsatz der Algebra beschäftigt hat, jenes von ihm erstmalig bewiesenen Satzes, daß jede algebraische Gleichung so viel Wurzeln besitzt, wie ihr Grad angibt. jeder Tertianer weiß, daß eine algebraische Gleichung 1. Grades stets eine Wurzel hat. Der Untersekundaner aber erfährt, daß die algebraische Gleichung 2. Grades, die quadratische Gleichung, im Bereiche der reellen Zahlen allein durchaus nicht immer lösbar ist. So läßt sich die quadratische Gleichung X—1= 0 weder durch eine positive noch durch eine negative reelle Zahl befriedigen. Aber der Untersekundaner lernt auch durch— teine neue Zahl i, die imaginäre Einheit, definieren und sieht nun, daß der Gauss'sche Funda- mentalsatz für die algebraische Gleichung 2. Grades richtig ist, nachdem diese Erweite- rung des Zahlbegriffs vorgenommen worden ist. Geheimnisvoll wie die imaginären Zahlen für jeden Schüler sind, dem sie zum ersten Male begegnen, sind sie es lange auch für die Mathematiker seit ihrem Erscheinen bei Cardano 1545 gewesen, der—i5 eine„quantitas vere sophistica“ nennt und’=9 durch„non est 3 p nec 3m sed quadam tertia natura ab- scondita“ erklärt. Noch Leibniz spricht im Jahre 1702 von ihnen als einem„analyseos miraculum, idealis mundi monstrum, pene inter Ens et non-Ens amphibium.“ Wenn auch Gauss sich in seiner 1700 erschienenen Dissertation, die den Beweis des Fundamental-

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