Gymnasium zu Braunschweig und späterhin für das Studium an der Universität Göttingen auf sich zu nehmen, so daß Gauss der größten Sorgen um seine Zukunft be- hoben war. Als Gymnasiast hatte Gauss infolge seiner schnellen Auffassung trotz aller Schularbeiten Zeit genug, um seine mathematischen Kenntnisse zu erweitern. Bücher stan- den ihm reichlich zur Verfügung. Mit 15 Jahren hatte er die Werke der ersten Mathe- matiker Newton, Euler und Lagrange durchgearbeitet. Eingehende Untersuchungen, die sich auf losen Blättern seines Nachlasses und als Notizen auf Seiten und Umschlägen seiner Schulbücher finden, über die Primzahlen, Potenzreste, die unendlichen Reihen, das arithmetisch-geometrische Mittel und die geometrischen Grundbegriffe zeigen, daß sich in Gauss ein mathematisches Genie schnell entfaltete.
Von den Entdeckungen, die Gauss im Alter von 17 bis 18 Jahren machte, kann ich hier nur zwei erläutern. Die eine ist die Methode der kleinsten Quadrate, die zur Grundlage aller exakten Messungen in der Astronomie und in den Naturwissenschaften ge- worden ist. Wir wollen sie an einem ganz einfachen Beispiel erklären.
Das Gesetz für die Ausdehnung eines Stabes durch Temperaturerhöhung lautet „1= lo—+— alat; hierbei ist lo die Länge des Stabes bei OoC, alo der Zuwachs dieser Länge bei Erwärmung des Stabes um 1oC und l die Länge bei tôC. Man könnte hier lo und a als unbekannt ansehen und sich die Aufgabe stellen, diese Größen zu ermitteln. Um Bestimmungsgleichungen für die Unbekannten zu erhalten, wird man für verschiedene Temperaturen die zugehörigen Stablängen messen. Zur Berechnung zweier Unbekannten genügen zwei Bestimmungsgleichungen.
Aber da sich auch bei den sorgfältigsten Beobachtungen Messungsfehler nicht vermeiden lassen, kann man sich bei exakten Messungen mit nur zwei Messungen nicht begnügen; man wird vielmehr eine größere Anzahl davon unter den verschiedensten Bedin- gungen ausführen. Je zwei der dadurch erhaltenen Bestimmungsgleichungen können nun zur Berechnung eines Paares der gesuchten Unbekannten dienen; 3 Bestimmungsgleichungen würden zu drei, 4 Gleichungen zu sechs, 5 schon zu zehn Wertepaaren für die Unbe- kannten führen. Wenn die Messungen fehlerfrei wären, so würden alle diese Wertepaare gleich sein; tatsächlich stimmen sie aber eben wegen der Meßfehler nicht genau über- ein. Man kann nun die Durchschnittswerte, das arithmetische Mittel der verschiedenen Ergebnisse für a oder lo, als diejenigen beiden Werte ansehen, die das physikalische Ge- setz am genauesten erfüllen.
Die hier skizzierte Methode zur Berechnung der besten Werte erfordert viel Zeit und Mühe und zwar um so mehr, je größer die Zahl der Gleichungen und der Unbe- kannten wird. Die von Gauss von 1800—1826 weiterentwickelte Methode der kleinsten Quadrate ermöglicht nun die Ermittlung der besten Werte für die Unbekannten auf sehr einfache Weise und zwar auch dann, wenn die Zahl der Unbekannten beliebig groß ist. Es mögen, um einen ganz einfachen Fall zu betrachten, zur Berechnung von lo und a die folgenden drei, durch Messungen gewonnenen Bestimmungsgleichungen vorliegen:
1000,22= d+ a l 20 1000,05- Ld+ a lo 40 1000,90— lo † A lo 50
Man multipliziert nach der Methode der kleinsten Quadrate die Gleichungen der Reihe nach einmal mit den Koeffizienten von lo, das andere Mal mit denen von alo und fast jedes Tripel von Gleichungen durch Addition zu einer einzigen Gleichung zusam- men. Die aus den so erhaltenen Gleichungen
3001,77— 3 1b+ 110 al,
110 075,4= 110 b+ 4500 a l berechneten Werte lo= 990,765 und a= 0,000022505 sind das die Gleichungen am besten erfüllende Wertepaar. Die mit diesen Werten berechneten Stablängen bei 200, 40⁰0 und 500 unterscheiden sich nämlich von den gemessenen Stablängen 1000,22, 1000,65 und 1000,900 nur um solche Beträge, daß die Summe aller Quadrate dieser Fehler gerade am kleinsten ist. Der Beweis des dieser Methode zugrunde liegenden Satzes bedarf der höheren Analysis und der analytischen Geometrie des Raumes und kann daher hier nicht erklärt werden.
Die zweite bedeutende Leistung von Gauss im Alter von 18 Jahren ist die