45

Zuſatz. Genau wie bei der vorhergehenden Aufgabe läßt ſich nachweiſen, daß die Gleichungen 0²2 u²— 1² v2— 1= 0 und — 0² u²+ ² v— 1= 0 Hyperbeln bedeuten.

Diskuſſion

der allgemeinen Gleichung zweiten Grades, in welcher die veränder⸗ lichen Größen als Linienkoordinaten aufgefaßt werden.

§ 15. Lehrſatz. Faßt man bei jeder Löſung der Gleichung au u“ †. 2 au UV+ au V2+ 2 ana u+ 2 a2s V+ aus= 0

den Wert für u als Abſciſſe und den Wert für v als Ordinate einer Geraden in einem beliebigen zweiaxigen Koordinatenſyſteme auf, ſo iſt dieſe Gleichung der analytiſche Ausdruck für alle Kurven zweiter Klaſſe, d. h. derjenigen Kurven, an die man von einem Punkte der Ebene höchſtens zwei Tangenten ziehen kann.

Beweis. Denkt man ſich durch den Punkt, von dem man wiſſen will, wie viele Tangenten von ihm an die durch obige Gleichung definirte Kurve gehen, die Geraden ur vi und us ve ge⸗ legt, ſo ſind die Koordinaten der Tangenten von der Form

u+† 1 us⸗ Vi † 4 V2 1+ 4 1 †4 wo 7 eine Zahl iſt, die ſich ergiebt, wenn man dieſe Ausdrücke in die gegebene Gleichung einträgt.

Da ſich eine quadratiſche Gleichung zur Beſtimmung von 1 er⸗ giebt, ſo gehen im allgemeinen 2 Tangenten von einem Punkte der Ebene an die gegebene Kurve, d. h. ſie iſt eine ſolche zweiter Klaſſe.*)

Aufgabe 1. Man ſoll die Bedingung angeben, unter der die Geraden umſVi und us ve konjugiert ſind in bezug auf die Kurve, die durch die Gleichung

au u*+† 2 ais uv+ ass v“+ 2 aisu+ 2 ass v+ ass= 0 definiert iſt. *) Man könnte den Beweis auch dadurch liefern, daß man die gemeinſchaft⸗ lichen Löſungen zwiſchen der gegebenen Gleichung und der Gleichung x u+ y v+ 1= 0 ſucht. Man würde dann die Anzahl der Tangenten finden, die durch yr ge⸗ zogen werden können.