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Aufgabe 2. Man ſoll die Gleichung der Hyperbel in bezug auf zwei konjugierte Durchmeſſer angeben.

Auflöſung. Unter denſelben Vorausſetzungen wie bei der letzten Aufgabe ſind für u und v auch dieſelben Werte zu ſetzen. Durch die bezeichneten Subſtitutionen geht die Hyperbelgleichung über in:

a¹ sin* Gβ— b' cos“ 5 U b“* cos“ α— a“ sin“ a sin sin*„ 82 2 3 sin sin β—? b* cos cos 60V sin Weil die neuen Axen konjugierte Durchmeſſer ſind, ſo iſt

Ve

1=0.

tg a tgo= be oder a? sin« sin β— b'* cos α cos H= 0. Die Hyperbelgleichung nimmt alſo die Form an: a* sin“ β— b' cos: ¹ cos“ α— a' sinz α — 1 1. e sin⸗ 3 19. Anmerkung. Dieſe Gleichung hat dieſelbe Form wie in dem Falle, in welchem die Hyperbel auf ihre Haupt⸗ und Nebenaxe be⸗ zogen iſt. Sehr weſentlich iſt, daß die Vorzeichen der Koeffizienten von U' und V“I ſtets verſchieden ſind. Um die letzte Behauptung zu beweiſen, ſetzen wir b' cos“ α — a¹ sin“ α=*. Aus dieſer Gleichung folgt durch Diviſion mit a' cos' xα: b* 8

Dr.— tg a= eee. a*² 8 ಹ cos' α

4

Da nach§ 13 die Beziehung ſtattfindet tgo aᷣ= 5 cot* Ʒ, ſo geht die vorhergehende Gleichung über in:

b*²( b* 8 —2(1—— cot:) ,—— oder a* a* 3 a* cos* α 2„ 2 2. 2 4 a* sin“ a* sin ˙— b' cos 3=. 8 3 b* cos' α

Die linke Seite dieſer Gleichung hat dasſelbe Vorzeichen wie«, „ a“ sin“„. 11. weil— ſtets eine poſitive Zahl iſt.

Mithin haben a“' sin“ xh— b' cos' g und b' cos“ αᷣ— a¹ sin' a einerlei Vorzeichen, alſo die Koeffizienten von U' und V“ verſchiedene.