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Der eine der konjugierten Durchmeſſer bilde mit der x⸗Axe dieſes Syſtems den Winkel, der andere den Winkel„, und der Winkel zwiſchen den beiden konjugierten Durchmeſſern ſei 9.

Wenn nun die Tangente uſ v im Syſteme, deſſen Axen die konjugierten Durchmeſſer ſind, die Koordinaten U W beſitzt, ſo iſt nach dem Zuſatze der Aufgabe 2 des§ 8 zu ſetzen:

U sin— V sin α 7— U cos+ Vcos a

sin G 1 sin G 4

Trägt man dieſe Werte für u und v in die Gleichung der Ellipſe ein, ſo ergiebt ſich:

a* sin+ b' cos G ½ 1 2a¹ sin“ α+ b* cos* α — U“* †— sin“ G sin“& a? sin α Lin. b“* cos%* cos UV=S sin? Nach dem vorhergehenden§ iſt aber

u=

VI

— 2= 0.

tgatgs⁵=—. oder

a? sin« sin β+ b'* cos α cos= 0. Mithin ergiebt ſich die Gleichung: a“ sin+ b“* CO0S ½ as: zin:&+ b? C082 4 — T2 † 2 sin„& sin Anmerkung. Dieſe Gleichung hat dieſelbe Form wie in dem Falle, in welchem die Ellipſe auf ihre große und kleine Axe bezogen iſt. Sehr weſentlich iſt, daß die Koeffizienten von U’* und V“I einerlei Vorzeichen haben.

Zuſatz. Wenn die Gleichung einer Kurve in bezug auf ein beliebiges Koordinatenſyſtem die Form hat 0²2 u*+ ²2v2 1= 0,

V 1=0.

ſo bedeutet ſie eine Ellipſe.

Beweis. Durch ganz dieſelben Betrachtungen wie in Aufgabe 7 und 8 des§ 11 findet man, daß die Gerade u v den Pol— 02 u—*yv in bezug auf die durch obige Gleichung beſtimmte Kurve beſitzt. Da aber der Pol von jeder Tangente einer Kurve zweiter Klaſſe ihr Berührungspunkt iſt, ſo hat der Be⸗ rührungspunkt x y der Tangente u v die Koordinaten X=—(*u, y=— G*⁵ ½ũ).

Eliminiert man dieſen zwei Gleichungen und aus der gegebenen die Größen u und v, ſo reſultiert:

X² 2 2. 1=0 Von dieſer Gleichung iſt aber bekannt, daß ſie eine Ellipſe bedeutet.