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Multipliziert man die Gleichungen II und III je mit— v, ſo erfährt man aus II, daß die Richtungskonſtanten von OAr und Fa B gleich ſind, und aus III, daß die Richtungskonſtanten von OAs und Fr B gleich ſind. Mithin iſt OAu F. B und OA= Fi B.

Zuſatz 1. Man findet alſo den Berührungspunkt von Ar Ae, indem man zu 0An durch Fe die Parallele zieht.

Zuſatz 2. In Fig. 12 iſt das Viereck ODBC ein Parallelogramm.

Zuſatz 3. Da im △ BF Fæ(Fig. 12) der Punkt O die Mitte von Fi Fa iſt und 00 Fe B, ſo iſt C die Mitte von BFi. Es läßt ſich auf ähnliche Art zeigen, daß D die Mitte von BF iſt.

Zuſatz 4. Weil △˖ BFIA rechtwinkelig iſt und C die Mitte der Hypo⸗ tenuſe BFi, ſo iſt CAr= CB= CFi. Ebenſo zeigt man, daß DFe= DB= DA iſt. Nun iſt

BFz= 2 DB= 20 Ai+ 2 Ar C und

BFi= 2B30= 2 Ar C. Hieraus folgt durch Subtraktion:

BFz— BEI é= 2 0A1= 2 a.

Die Hyperbel iſt alſo der geometriſche Ort aller Punkte, für welche die Differenz der Entfernungen von zwei feſten Punkten konſtant iſt.

Zuſatz 5. Da 0A= OA«, ſo iſt(Fig. 12) a= X. Da ferner CA= GCB, ſo iſt+ α= ⁸ 3—, und weil endlich DA:= DB, ſo iſt X α= ½ 32. Mithin iſt= X⁸.„2.

Die Tangente eines Hyperbelpunktes halbiert alſo den Winkel zwiſchen den beiden nach ihm gezogenen Radien vectoren.

Aufgabe 7. Man ſoll angeben, wie viele Tangenten von irgend einem Punkte der Ebene an eine Hyperbel gezogen werden können. Auflöſung. Wenn wieder un vi und us ve zwei Geraden ſind, die durch den gegebenen Punkt gehen, ſo ſind die Koordinaten

+ 7+ 1 as eaerrar„wo/ eine Zahl

der Tangente von der Form 1+7 1+7

iſt, die ſich aus der Gleichung a?(ui+ 4u2)“— b'(vi+ 2v2)“—(1+)*= 0 oder(a' ui*— pb' vI— 1)+ 21(a* m ue— b'’ vi ve— 1)+† 2* (a? us“— b* v2*— 1)= 0 ergiebt.

Da ſich im allgemeinen 2 Werte für ergeben, ſo kann man im allgemeinen auch 2 Tangenten von Punkten der Ebene an eine Hy⸗ perbel ziehen.

Anmerkung. Vermöge dieſer Eigenſchaft wird die Hyperbel eine Kurve zweiter Klaſſe genannt.