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Zuſatz 2. Um die Gleichung der Hyperbel in Punktkoordinaten zu er⸗ halten, eliminiert man aus den drei Gleichungen au ui²— b*vi— 1= 0,

X=— azu und y= b? v die Größen un und vi. Man findet X² y2² r.

Aufgabe 5. Man ſoll die Bedingung angeben, unter der die Gerade un vi die Hyperbel a² u²— b²v²— 1=0 ſchneidet oder ganz außerhalb derſelben liegt.

Auflöſung. Man ziehe durch den Punkt, in welchem un Vi die y⸗Axe ſchneidet, die beiden Hyperbeltangenten. Dieſelben haben die nämliche Ordinate wie die gegebene Gerade, nämlich vi, und wenn die eine die Abſciſſe+ us beſitzt, ſo hat die andere die Abſciſſe— us; denn dieſe Abſciſſen werden nach Aufgabe 2 dieſes§ aus der Gleichung u=+ 1. V1+ bevis* gefunden.

Subtrahiert man nun die Gleichung a² us— b?² I2 1= 0 (welche von usſ Vi und— u⸗ Vi befriedigt wird) von der Gleichung Hi= a2 u.— b²vi²— 1, ſo ergiebt ſich die Gleichung Hi= a²(ui²— u⸗ ²), welche zur Ermittelung der geſuchten Bedingungen dient.

Ein Blick auf Fig. 11, in welcher E der Schnittpunkt zwiſchen ur vi und der y⸗Axe iſt, AE und D die Hilfstangenten ſind, lehrt, daß die erwähnten Hilfstangenten die Ebene in 4 Winkelfelder teilen, in ein oberes und unteres, ein rechtes und linkes. In den beiden letzteren liegt, wie Fig. 10 zeigt, die ganze Hyperbel, und eine Ge⸗ rade, die durch dieſelben geht, ſchneidet ſtets die Hyperbel. Eine Gerade aber, die durch das obere und untere Winkelfeld geht, hat keinen Punkt mit der Hyperbel gemeinſam.

Für eine die Hyperbel ſchneidende Gerade iſt der abſolute Wert von ui kleiner als der von u⸗; mithin iſt Hi in dieſem Falle negativ.

Für eine die Hyperbel nicht ſchneidende Gerade iſt der abſolute Wert von ur größer als der von us; mithin iſt in dieſem Falle Hi poſitiv.

Aufgabe 6. Nach den beiden Punkten, in welchen eine Hyperbeltangente den Kreis ſchneidet, auf dem ſich der Scheitel des die Hyperbel erzeugenden rechten Winkels bewegt, ſind die Radien gezogen; man ſoll nachweiſen, daß jeder der Radien vectoren, die nach dem Berührungspunkte dieſer Tangente gezogen ſind, einem dieſer Radien parallel iſt.