35

Wie in Aufgabe 1 des§ 11 findet man, daß die geſuchte

Gleichung die folgende iſt: (uz²+ vꝛ)[az u²+(a²— e*) ve— 11= 0.

Da nun der erſte Faktor nicht ſtets null ſein kann, ſo muß

a² u²+(a²— e*) ve— 1= 0 ſein.

Setzt man e“— a²= b, ſo ergiebt ſich die Gleichung

a² u²— b² v2— 1= 0.

Zuſatz 1. Wird der Punkt F, welcher ſo liegt, daß OFI= OF' iſt, als feſter Punkt gewählt, ſo ergiebt ſich dieſelbe Gleichung. Fz iſt demnach auch als Brennpunkt zu bezeichnen.

Zuſatz 2. B B2= 2a heißt Hauptaxe(Zwergaxe) und Fi Fæ= 2e die Excentricität der Hyperbel.

Zuſatz 3. Wenn 001= 002 und 001= Ve*— a?, ſo iſt Cr(Cz die

Nebenaxe.

Aufgabe 2. Man ſoll die Gleichung der Hyperbel diskutieren.

Auflöſung. 1. Da die Gleichung aꝛ u²— b² v2— 1= 0 nur die zweiten Potenzen von u und v enthält, ſo ergeben ſich zu jedem Werte von u zwei entgegengeſetzt gleiche Werte von v, und zu jedem Werte von v zwei entgegengeſetzt gleiche Werte von u. Mithin liegt die Hyperbel ſymmetriſch zu beiden Axen.

2. Bringt man die Hpperbelgleichung auf die Form

u= 1 1+ b'vs, ſo erſieht man, daß für v= o der Wert von

u= 4 wird. Die im Abſtande+ a und— a zur y⸗Axe gezogenen

Parallelen ſind alſo Tangenten der Hyperbel. Ferner erſieht man aus dieſer Form der Gleichung, daß u für jeden poſitiven und negativen Wert von v zwei reale Werte annimmt, d. h. daß man von jedem Punkte der y⸗Axe zwei Tangenten an die Hyperbel ziehen kann.

3. Bringt man die Hyperbelgleichung auf die Form: 1„— == au u— V b a' u 1, ſo erſieht man, daß die Werte von v nur dann real werden können, wenn a2² u?²= 1, d. i. der abſolute Wert von— iſt. Man

kann alſo nur von ſolchen Punkten der x⸗Axe, deren Entfernung vom Nullpunkte kleiner als a iſt, Tangenten an die Hyperbel ziehen.