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— eal us² e—(a*— e)u—(alu— e)(eu+ 1) b²— b- 4 — en 1 b. ev—u asu— e Multipliziert man in Gleichung(I) beiderſeits mit e und addiert dann auf jeder Seite u, ſo ergiebt ſich

ev— u=

oder

— eazu²+e+¼(a*— e*) u—(azu † e)(eu— 1 eve Pu= pE 8—= Len 1— 1) — 2 oder 23,1 A.(II

e Tu au † e Multipliziert man die Gleichungen II und III je mit v, ſo er⸗ fährt man aus II, daß die Richtungskonſtanten von OAi und FeB gleich ſind, und aus III, daß die Richtungskonſtanten von OAꝛ und FiB gleich ſind. Mithin iſt OArſFeß und OAe FiB.

Zuſatz 1. Man findet alſo den Berührungspunkt von Ar Az, indem man zu OAu durch F die Parallele zieht.

Zuſatz 2. In Fig. 9 iſt das Viereck ODBC ein Parallelogramm.

Zuſatz 3. Da im △ BFiFe der Punkt O die Mitte von Fi Fe iſt und 00]FeßB läuft, ſo iſt C die Mitte von BFi. Ebenſo zeigt man, daß D die Mitte von B iſt.

Zuſatz 4. Weil △ BAi Fi rechtwinkelig iſt und C die Mitte der Hypo⸗ tenuſe BFi, ſo iſt CFi= CB= CAl. Ebenſo zeigt man, daß DF.= DB= DAz iſt. Nun iſt

BFi= B0+ CF= 0Db+ CA und BFæ= BD+ DF== DAz+ 00, mithin

BFi+ BFz=(OD+† DAz)+(00+ CAi)= 2a.

Die Ellipſe iſt alſo der geometriſche Ort aller Punkte, für welche die Summe der Entfernungen von zwei feſten Punkten konſtant iſt.

Zuſatz 5. Da OA= OA«, ſo iſt α=+«. Da ferner CA=(B, ſo iſt+ α= X G4, und weil endlich DA2= DB, ſo iſt— a= S. Mithin iſt. 81== J..

Die Tangente eines Ellipſenpunktes halbiert alſo den Winkel zwiſchen dem nach ihm gezogenen Radius vector und der Verlängerung des anderen eben dahin führenden Radius vector.—

Ferner folgt aus Zuſatz 3 der Satz: Die Normale eines Ellipſenpunktes halbiert den Winkel zwiſchen den beiden nach ihm führenden Radien vectoren.

Aufgabe 7. Man ſoll angeben, wie viele Tangenten von irgend einem Punkte der Ebene, an eine Ellipſe gezogen werden können.