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Setzt man in dieſem Ausdrucke lim ve= vi und lim us= u,

2 ſo ergiebt ſich, daß die geſuchte Richtungskonſtante gleich Srn iſt,

2 und daß die geſuchte Gleichung y= 5 x lautet.

Aufgabe 4. Man ſoll die Koordinaten des Berührungspunktes der Ellipſentangente ur vi finden. Auflöſung. Dieſelben werden aus dem Syſteme der Gleichungen: ui X+ vi y † 1=—0 b² VI F= Fru gefunden.

Berückſichtigt man, daß a² ui † b² vI2= 1 iſt, ſo wird X=— azui und y=— bé vi. Zuſatz 1. Da die Gleichung für x auch in der Form geſchrieben werden 2

2 1* ſo iſt x die dritte Proportinale zwiſchen dem Abſchnitte der

2 Tangente auf der x⸗Axe und der halben großen Axe der Ellipſe. Aehnliches gilt für die Ordinate des Berührungspunktes.

Zuſatz 2. Um die Gleichung der Ellipſe in Punktkoordinaten zu finden,

kann Xx=—

eliminiert man aus den 3 Gleichungen a² ui † b2 vr— 1= 0, X=— a? umund y=— bawi die Größen un und vi. Man findet 1 X² y2 r r.

Aufgabe 5. Man ſoll die Bedingung angeben, unter der die Gerade un Vi die Ellipſe a² u²+† b*v²— 1= 0 ſchneidet oder ganz außerhalb derſelben liegt.

Auflöſung. Die geſuchte Bedingung ergiebt ſich, indem wir unterſuchen, welchen Wert die linke Seite der auf null gebrachten Ellipſengleichung annimmt, wenn wir ſtatt u und v die Koordinaten der gegebenen Geraden eintragen.

Der Ausdruck a² ur † b² vI2— 1 werde mit I bezeichnet, und die zu ur Vi parallele Tangente, welche dieſelben Teile der Axen ſchneidet wie un vi, möge die Koordinaten u v beſitzen.

Setzen wir nun u= Au, ſo iſt auch vw= Av, und es wird EI= 42(azu⸗+ b²vz)— 1= 4*(az u²+ bev²— 1)*)+*½— 1=42— 1.

*) Weil u v Tangente iſt, ſo iſt a¹ u* † b² v2 1= 0.