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Wenn man die Koordinaten einer der Geraden, die den zu unter⸗ ſuchenden Ort bilden, mit u v bezeichnet, ſo hat dieſe Gerade die Gleichung ux † vy+ 1=0, und die Gerade, die auf letzterer ſenk⸗ recht ſteht und durch den Punkt« geht, hat die Gleichung

vX— uy— væ+ us= 0.

Mithin hat der Schnittpunkt beider die Koordinaten:

V²— Suv— u V uz*— uv— V e usv.

Da in unſerem Falle«= e und ½=o iſt, ſo hat der Scheitel

des die Ellipſe erzeugenden rechten Winkels die Koordinaten: ev²— u V—(euv+ V uech us

Subſtituiert man dieſe Werte in die Gleichung X2+ y²= a:, ſo ergiebt ſich: e² v4— 2 euv Tuz² †esuzve²+ 2zeuvz+ vi— as(u² † v*) ²*= 0

oder—(u*² † vꝛ²)[a² u²+(a²— eꝛ²) vs— 1]= 0.

Da nun u* † vꝰ nicht ſtets null ſein kann, ſo muß

a² u?²+(a²— e²) v²— 1 gleich null ſein.

Setzt man hierin a*— ez²= be, ſo ergiebt ſich als Linien⸗

koordinatengleichung der Ellipſe die folgende: az u²+ b² v2- 1= 0.

Zuſatz 1. Wird der Punkt F⸗, welcher ſo liegt, daß OFr= O0Fz(Fig. 9) iſt, als feſter Punkt gewählt, ſo iſt in den Ausdrücken für die Koordinaten des Scheitels— e ſtatt+e zu ſetzen. Führt man die Rechnung durch, ſo gelangt man zu derſelben Gleichung wie vorher. Fa iſt demnach auch als Brennpunkt zu bezeichnen.

Zuſatz 2. G1 Ge= 2a wird große Axe, Fi Fz= 2e die Excentricität der Ellipſe genannt.

Zuſatz 3. Wenn in Fig. 9 0H= OHz und OH= Va?— es, ſo iſt H He die kleine Axe der Ellipſe.

Aufgabe 2. Man ſoll die Gleichung der Ellipſe diskutieren.

1. Da die Gleichung a?² u²+† b*v-— 1= 0 nur die zweiten Potenzen von u und v enthält, ſo ergeben ſich zu jedem Werte von u zwei entgegengeſetzt gleiche Werte von v und zu jedem Werte von v zwei entgegengeſetzt gleiche Werte von u. Daraus folgt, daß die Ellipſe ſymmetriſch zu beiden Axen liegt.