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Harmonie ſein ſoll, ſo muß nach der vorhergehenden Aufgabe die Be⸗ dingung erfüllt ſein: r²(u u+ v. v)— 1= 0 oder (— r*² u.) u †(— r*v) v+ 1=0.

Jedes Wertepaar für u und v liefert eine Gerade der verlangten Art. Da es aber unendlich viele Löſungen der letzten Gleichung giebt, ſo ſind auch unendlich viele Geraden der verlangten Art vorhanden. Dieſelben gehen ſämtlich durch den Punkt— r“ u— r*V, welcher der Pol von un VI genannt wird.

Ferner wird die Gerade u. VI die Polare des Punktes — re ur— ry genannt.

Zuſatz 1. Wenn man die Koordinaten des Poles von un vi mit I1 y1 bezeichnet, ſo finden die Beziehungen ſtatt:

xi=— r² u, yi=— re VI und XI y1 u=—— VI=— r2, r²

Zuſatz 2. Wird ur!uI zur Tangente, ſo werden die Koordinaten des Poles dieſer Geraden gleich denen des Berührungspunktes(Aufg. 4). Der Pol einer Kreistangente iſt mithin ihr Berührungspunkt.

Aus den letzten Gleichungen folgt ferner, daß die Polare eines Kreispunktes ſeine Tangente iſt.

Aufgabe 7. Auf Grund der Gleichungen X.=— r* u,= — reV den Pol der Geraden u V. zu konſtruieren.

. Auflöſung. In Fig. 3 ſei AB die gegebene Gerade. Wenn man dann von A und B die Tangenten AC und BD zieht, von C ein Lot auf die ⸗Axe und von D ein Lot auf die y⸗Axe fällt, ſo iſt der Schnitt⸗ punkt(E) dieſer Lote der geſuchte Pol.

Weil nämlich 00*= 06. OX, ſo iſt

r2= XL— 1 ober.=— ri M, U und weil Fig. 3. ferner OD²= 05 OB, ſo iſt 12= yI—1 oder y=— r ² V.. VI