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Die Koordinaten der in Betracht kommenden Tangenten haben

:+ 1 u.+.... die Form—ue 4 2u. AAd. wo eine Zahl iſt, die ſich ergiebt,

1 14 indem man dieſe Ausdrücke an Stelle von u und v in die Kreis⸗ gleichung einträgt.

Man findet zur Beſtimmung von 4 die Gleichung

ellereef⸗Gre) l= 1+₰ 1 1+7

oder, indem man nach Potenzen von 7 ordnet: r'(ui+ v*)— 1+ 2 A0r'(u u. † v. Vv.)— 1]+* r(u. ve)— 11= 0.

Dieſe Gleichung liefert zwei Werte für 1 und demgemäß auch zwei Tangenten, welche beide real oder imaginär ſein können.

Wenn die Werte für entgegengeſetzt gleich werden, ſo ſind die betreffenden Tangenten mit den gegebenen Geraden in Harmonie.

Dieſer Fall tritt ein, wenn der Koeffizient von 1 in obiger Gleichung verſchwindet. Die geſuchte Bedingung lautet demnach: r'(u u. † VI Ve)— 1= 0.

Zuſatz. Iſt dieſe Bedingung erfüllt, ſo werden die Werte von 4, welche die Koordinaten der beiden vom Schnittpunkte der gegebenen Geraden ausgehenden Tangenten liefern, aus der Gleichung

— r?(ui* † vi²) 1= 1= r2(ues— 1 1 gefunden.

Hieraus iſt erſichtlich, daß die Werte von 1 nur dann real werden, wenn die eine Gerade den Kreis ſchneidet, während die andere ganz außerhalb desſelben liegt; denn nur in dieſem Falle ſind die Ausdrücke r'(ui²+ vi²)— 1 und r*(uz*+ v²)— 1 verſchiedenen Zeichens, mithin der Radikand poſitiv.

Aufgabe 6. Von jedem außerhalb eines gegebenen Kreiſes liegenden Punkte einer Geraden ſind die beiden Tangenten an dieſen Kreis gezogen und der zur gegebenen Geraden konjugierte, vierte harmoniſche Strahl konſtruiert.

Man ſoll den Ort dieſes vierten harmoniſchen Strahles angeben.

Auflöſung. Die zu konſtruierende Gerade möge die Koordinaten u v beſitzen.

Wenn dieſelbe mit un vo und den beiden Tangenten, die vom Schnittpunkte zwiſchen uſ V und uv gezogen werden können, in