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Die linken Seiten der Gleichungen für Aiz, Ais und Au mögen mit Pu reſp. Pis und Pii bezeichnet werden. Es iſt dann

III..... 41 Piz= i1 Pi+ dν Pz= d Ps+ 4 P= 0 IV..... 22 Pia= d1 P:— ds Pa=—(3 Pz— ⁴ Pa)= O und V.... Aa Pi4= di Pi— dα P.=—(½2 P⸗— d½ Pa)= 0.

Addiert und ſubtrahiert man je zwei dieſer Gleichungen, ſo findet man die Gleichungen von 6 Punkten, von denen jeder mit 3 anderen der Figur in Har⸗ monie liegt.

So iſt z. B. 41 Pi2— 42 Pis,= P+ Pa= 0.

er die Strecke As Az innerlich im Verhältniſſe von 4. Der Punkt Au teilt, wie 2

Gleichung V zeigt, dieſelbe Strecke äußerlich im Verhältniſſe von A. Mithin liegen die Punkte Pe= 0, Pa= 0, Pia= O und 1 Piz— 72 Pis= 0 in Harmonie.

In ähnlicher Weiſe laſſen ſich ſämtliche harmoniſche Eigenſchaften des vollſtändigen Vierecks aus den ſymmetriſch gebauten Gleichungen III bis V folgern.

Transformation der Linienkoordinaten.

§ 8.

Aufgabe 1. Die Koordinaten einer Geraden ſind in bezug auf ein ſchiefwinkeliges Axenſyſtem gegeben; man ſoll die Koordinaten derſelben in bezug auf ein anderes Syſtem angeben, deſſen Axen denen des gegebenen parallel laufen.

Auflöſung. Der Anfangspunkt des neuen Syſtems habe in bezug auf das urſprüngliche die Koordinaten a]/ b. Die gegebene Gerade habe im urſprünglichen Syſteme die Koordinaten u v, im neuen die Koordinaten V/ V. Ein beweglicher Punkt dieſer Geraden habe im urſprünglichen Syſteme die Koordinaten Xy, im neuen die Koordinaten X Y.

Im urſprünglichen Syſteme hat die gegebene Gerade die Gleichung

ux+ vy+ 1= 0.

Daraus wird die Gleichung für das neue Syſtem abgeleitet, indem man, wie bekannt,

X= X+X a und y= I Phö ſetzt.

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