10 Erweitert man den Bruch Armit A, A., ſo wird 2

4= H. As A: hz. As A, worin ha. A.A. den doppelten Inhalt des Dreiecks A. A⸗ A. und h.. A.A den doppelten Inhalt des Dreiecks A. A. A bedeutet. Die Maßzahl für die Flächeneinheiten des Dreiecks A. A. A. werde mit d, die „„ Ai A A.„„ d ⸗,„ „„ A Az A„„ ds und die „„ Ar A A„„ d. bezeichnet. d¹, d, d und d⁴ ſind Zahlen, die ſich aus den Koordinaten der gegebenen Punkte berechnen laſſen, und zwar iſt: 2 der abſolute Wert von X⸗(y— y.) † X.(Y.— y⸗) K X.(y— y), 2 32„„„„(N.— yr) † X.(VI— J) † X(N⸗— y.), 2 d„„„„ IN.— Fe) † X.Ne— y.) † XN.— yi) und 2 2„„„„ XI(Ne— Ya) X.(V— y) XV.— ya). Bei der angenommenen Lage der vier Punkte iſt 1 eine poſitive Zahl; die Gleichung von Au lautet demnach: P.4. 9e P.= G oder d P. † d P.= 0.....() 1 Durch eine ähnliche Betrachtung findet man, daß Au auch die Gleichung

beſitzt.

Weil die Gleichungen(I) und(II) denſelben Punkt vorſtellen, ſo können ſich die linken Seiten derſelben nur um einen konſtanten Faktor unterſcheiden. Um dieſen zu finden, vergleichen wir die ab⸗ ſoluten Glieder. In der erſten Gleichung iſt das abſolute Glied 1+, in der zweiten+. Jede dieſer Summen ſtellt den Inhalt des Vierecks A. A⸗ A. A vor, folglich iſt 31+ d.=,+..

Es iſt alſo. P.+ 02 P.= 6, P,+ 3. P..*)

Zuſatz. Aus der letzten Identität folgt, daß auch

J1 Pi— d½ Pa=—(d Pe— ⁴ Pa) und

21 Pi— d P.=—(½ Pz— d Pa), d. h. 21 Pi— ½ P.= O ſtellt denſelben Punkt vor wie 2 Pz— ⁴ P.= 0, und ebenſo ſtellt 51 Pi— 4 P.= 0 denſelben Punkt vor wie 2 P⸗— P.= 0, und zwar bedeuten die beiden erſten Gleichungen den Punkt Aus und die beiden letzten den Punkt Au.

*) Vergl. Baltzer, Analyt. Geometrie,§ 28, Art. 7.

63 P.+ P.= 0...........(II)