§ 4. Lehrſatz. Faßt man jede Löſung der Gleichung: i u+† V+ 1= 0, in welcher und y konſtant, u und v veränderlich ſind, als Koordi⸗ naten einer Geraden in einem beliebigen zweiaxigen Syſteme auf, ſo geht jede dieſer Geraden durch den Punkt, der im nämlichen Syſteme die Koordinaten X.] y beſitzt.

Beweis. Wenn uv eine Löſung der gegebenen Gleichung

iſt, ſo iſt xi u+† y VI+† 1=0.

Ginge nun u.vo nicht durch den Punkt yi, ſo wäre X u.+† V.+ 1 nicht null. Dies widerſpricht unſerer Annahme, alſo muß die Gerade uſ v. durch den Punkt xu] y gehen.

Auf gleiche Weiſe zeigt man, daß den unendlich vielen Löſungen der Gleichung xau+† veV+ 1= ebenſoviele Geraden des Punktes 1F entſprechen.

Erklärung. Die Gleichung xuu †+† v+† 1=0, welche die Koordinaten des Punktes Xu y mit den Koordinaten einer jeden durch ihn gehenden Geraden verbindet, heißt die Gleichung des Punktes xX. F..

Die linke Seite dieſer Gleichung ſoll künftig abgekürzt mit Pi, die Gleichung des Punktes ſelbſt alſo mit P.= 0 bezeichnet werden.

§ 5.

Aufgabe. Man ſoll die Gleichung des Punktes finden, der die Verbindungslinie der Punkte xu y und X.] ye in einem be⸗ ſtimmten Verhältniſſe(2) teilt.

Auflöſung. Wenn man die Koordinaten des Teilpunktes mit X[y bezeichnet, ſo lautet deſſen Gleichung:

xu+† yV+† 1=0.

XI+† 1 Xe F+ 1J

Da aber X= 1= 1„ſo geht dieſe Gleichung über in: X+ 4 n+ 41+ 1 N* r

oder(u+† V+ 1) †+1(u † v+ 1)= 0, wofür man abgekürzt ſchreiben kann P'+ 1 Pa— 0.