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Die Aufnahme des Obelisken in die Stereometrie iſt der Betrachtung der Trapeze zuzu⸗ ſchreiben, von deren Lehrſätzen die jenes Körpers nur analoge Conſequenzen ſind. Der dort vor⸗ kommenden arithmetiſchen Mittellinie entſpricht hier die„Hauptfigur“ des Obelisken; dazu kommt hier noch der Begriff von der„Nebenfigur“ deſſelben, um den wichtigen Satz von dem Obelisken⸗ inhalt darthun zu können, welcher lautet: Der cubiſche Inhalt eines Obelisken iſt gleich der Summe aus einem Prisma und einer Pyramide, welche beide Obeliskenhöhe, wovon das erſtere aber die Haupt⸗, die andre die Nebenfigur zur Grundfläche hat. Alles dies, eine Bereicherung dieſer Wiſſen⸗ ſchaft aus neuerer Zeit,(vergl. Grunert's Archiv, 9 und 11) und der Veranſchaulichung wegen, die man der Sache durch Figuren geben kann, für einen vollſtändigen, eingehenden unterrſcht nicht zu verachtendes Material! ⸗

Eine beſonders intereſſante Bereicherung der Stereometrie iſt der Satz von der nummen Ober⸗ fläche eines Kreiſels oder Rotationskörpers, d. h. eines Körpers, der durch Drehung eines re⸗ gulären Polygons um eine Halbirungsdiagonale hervorgebracht wird. Auch hier wird der Beweis hauptſächlich algebraiſch geführt, indem man an den geometriſchen Satz anknüpft, daß der Mantel eines Kegelſtumpfs gleich ſei dem Produkt aus der Seitenhöhe und dem Umfang der Hauptfigur (dem arithmetiſchen Mittel der beiden ungleichen Grundflächen⸗Umfänge). Indem man die Halbi⸗ rungsdiagonale(am beſten in dem Fall, wo ſie von Eck zu Eck führt, da die andern Fälle nur mit einiger Modiſication gelten) etwa af bezeichnet, den Radius des eingezeichneten Kreiſes aber 0, ſo ergibt ſich die Formel O= af. 20z, eine Formel, die ebenſowohl zu derjenigen der Kugeloberfläche führt und von wo aus nun die ſonſtigen Kugelformeln(für Kappe, Zone, Cubatur, Kugelſchicht, Kugelſector und Segment und Kugelpyramide) ihren Ausgang nehmen. Die Behandlung der Kugel nach dem Archimed'ſchen Lehrſatz als ½ des entſprechenden Cylinders(nach dem Verhältniß der drei Hauptkörper Kegel, Kugel, Cylinder, wie 1:2:3), bekanntlich in den meiſten Schullehrbüchern an⸗ gewandt, baſirt auf rein geometriſch⸗anſchaulichen Sätzen und kann für gewöhnliche Schulen und bloße math. Mittelſtufen den neueren mehr arithmetiſchen Entwicklungen vorgezogen werden. Man geht hier aber(wie auch bei der Beſtimmung des Cubikinhalts der prismatiſchen und pyramidalen Körper) von der Idee aus, daß Körper als Summen unendlich vieler verſchwindend dünner Scheiben (gewiſſermaßen bloſer Querſchnitte) gelten können, folglich dann inhaltsgleich ſein müſſen, wenn alle beliebig angenommenen entſprechenden Querſchnitte congruent oder inhaltsgleich ſind. Von dem cubi⸗ ſchen Inhalt der Kugel gelangt man dann zu demjenigen der Kugeloberfläche durch Betrachtung der Kugel als einer Summe mit den Spitzen im Kugelcentrum zuſammenliegender Kugelpyramiden unter Erwägung, daß die Baſis einer Pyramide erhalten wird, indem man den cubiſchen Inhalt mit 4 der Höhe dividirt.

Im Allgemeinen möchte der ältere Weg der Stereometrie auch in Anſehung der Beweiſe für Volksſchulen durchaus vorzuziehen ſein. Die Sätze der Stereometrie, einer für Bauhandwerker und Techniker ohne Vergleich wichtigeren Seite der Geometrie, als die Planimetrie, ſollte aber jedem Schüler nur nach inneren Gruͤnden vermittelt und nicht blos den thatſächlichen Regeln oder Lehr⸗ ſätzen nach, wie es Bücher in der Regel thun(z. B. auch Wiegand's„Volksſchulbuch“ der Elemente der Geometrie, 2. Aufl. 1860), mitgetheilt werden. Sodann iſt unendlich wichtig und den Verſtand

mit der zu beweiſenden Sache in gar keinem Zuſammenhang ſteht, das verlangte Reſultat nicht erzielt wird. Von dieſer Art Beweisführung läßt ſich deßhalb mit allem Grund ſagen:„Man ſieht nicht, was man thut“(— das Nouſſeau'ſche Drehen einer Kurbel) und wenn die Beweisführung gelingt, ſo iſt es mehr Verdienſt des Gedachtniſſes⸗ das ſich an der rechten Stelle des Erforderlichen glücklich erinnert, als des richtigen Urtheils.