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wie Formſinn, insbeſondere auch das darſtellende Zeichnen bildend eine praktiſche Behandlung der Stereometrie nach Figuren und Modellen, die man zeichnen läßt, oder nach Netzen, die man zeich⸗ nen, ausſchneiden und zu Körpermodellen wirklich verarbeiten läßt. Auf blos anſchaulichem Weg laſſen ſich an den Körperzeichnungen die Grundſätze von Verjuͤngung, überhaupt von Perſpective, ohne größere theoretiſche Anleitung praktiſch entwickerln. Uebrigens wird das richtige, denkende Zeichnen mit klarer Vergegenwärtigung aller Raumverhältniſſe durch nichts mehr gefördert, als durch gründliche Behandlung ſtereometriſcher Körperfiguren, ſei es durch bloſes Ableſen und Herausfinden an vorliegenden Figuren nach vorgelegten Fragen, ſei es durch Abzeichnen und Nachzeichnen von ſolchen oder von Modellen Gzumal auch von Kryſtallkörpern*)), oder durch ſelbſtändiges Entwerfen von Zeichnungen aufgegebner Körper. Sehr weſentlich für den ganzen Erfolg jedes Unterrichts, beſonders gerade an nicht techniſchen Schulen wie Gymnaſien, die der Sache überhaupt nicht viel Beachtung widmen können, iſt überall die Nöthigung der Schüler zu ſchriftlichen und correcten conſtructiven Ausarbeitungen gegebner Aufgaben, wozu keineswegs die in beſonderen Anhängen aufgeſtellten, Zeit raubenden, meiſt viel Muſe und Nachdenken erfordernden„praktiſchen Aufgaben“, als die zum Unterricht und zu den Beweiſen ſelbſt verwendeten Figuren benützt werden müſſen.

Was den Unterricht in der Trigonometrie betrifft, ſo finden ſich hier auch zwei weſentlich verſchiedne Wege der Betrachtung der trigonometriſchen Begriffe neben einander, der trigonometriſcher Linien und der trigonometriſcher Functionen in Rechenformeln, welcher letztere namentlich von den Neueren ausgeführt wurde. Der erſtere, ältere Weg iſt für den Anfang jedenfalls vorzuziehen, indem er behaltbarere, ſich leichter einprägende(weil räumliche) Vorſtellungen in Form von Linien am Kreis vermittelt. Doch ſind viele Sätze und Beweiſe von der Entwicklung algebraiſcher Formeln immerhin im Allgemeinen ſo unzertrennlich, daß man der leichteren Beweisführung wegen gerade obigen Functionen in Rechenformeln den Vorzug geben muß. Vergleichen wir übrigens z. B. die wichtigen Sätze von der Summe und Differenz zweier Winkelſinus oder⸗Coſinus, ſo findet ſich bei dem neueren mehr algebraiſchen Verfahren zwar auch Hinzunahme geometriſcher Verſinnlichungen (bekanntlich des ptolemäiſchen Lehrſatzes und des Satzes von den Peripheriewinkeln gleicher Bögen), doch im Uebrigen ſo wenig Zuſammenhang der Entwicklungsoperation mit dem vorgeſtellten Be⸗ hauptungsſatz, daß das ältere Linienverfahren, das ſich nur auf Aehnlichkeit der Dreiecke und auf Proportionen ſtützt, ſich theils als einfacher und kürzer, theils wenigſtens als Volksſchulen zugäng⸗ licher bewährt. Namentlich gebührt in der einleitenden Goniometrie in Bezug auf Entwicklung der trigonometriſchen Functionen am Kreis und ihrer Ausdehnung auf alle möglichen Winkel dem Anſchauungsverfahren und der Conſtruction aller Vorzug vor der Rechnung, da ſich durch jene allein bleibende Vorſtellungen erzeugen, während die Formel aus der Vorſtellung verſchwindet, ſo wie ſie eben dem Gedächtniß entfällt. Auch zur Berechnung trigonometriſcher Functionen, wie z. B. zu dem Satz„der Sinus von 300 iſt gleich ½“, taugen insbeſondere geometriſche Figuren und aus ihnen geſchöpfte Sätze, wie:„Der Sinus eines Winkels iſt gleich der halben Sehne des doppelten Winkels“. Da übrigens auf dieſer geometriſchen Lehrſtufe eine genügende Reife der Schüler und ein hinlängliches Bewandertſein in algebraiſchen Operationen vorausgeſetzt werden kann, ſo kann man in dieſem Gebiet im Ganzen immerhin der algebraiſchen Methode den Vorzug geben und ſich darauf beſchränken, in beſonders geeigneten Fällen nebenbei auch das Linienverfahren und deſſen Eigenthümlichkeit dem andern gegenüber vorzuführen.

⸗*) S. deßfalls meine Ausführungen in dem Jahresber. der Biedenk. Realſchule(1856) S. 8 f.