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den Kopf, als die Formvorſtellung bildenden Betrachtungen und nebungen, die einem ſorgfälligen Unterricht nicht mehr abgehen dürfen.

Weniger Werth duͤrfte dem Abſchnitt von der Aehnlichkeit der Körper beizulegen ſein, da er in der That nur aus wiſſ. wichtigen Conſequenzen einer durchgeführten Syſtematik beſteht.

In der eigentlichen Körperberechnung geht man mit Recht(analog dem Gang in der Planimetrie vom Rechteck) von der Betrachtung des Parallelepipedums aus, von dem wieder das rechteckige(incl. Würfel) Hauptgegenſtand der Lehrſätze bildet. Bei der allgemeinen Prismen⸗ betrachtung(alſo auch derjenigen von Parallelepipedum, Säule und Cylinder) iſt die für den Cylinder ſich ergebende Oberflächenformel O= 2(h †r) ra, d. h.„die Geſammtoberfläche iſt gleich einem Rechteck, welches die Peripherie der Grundfläche und die Summe ihres Radius und der Cylinderhöhe zu Seiten hat“, nur algebraiſch zu entwickeln und der Formvorſtellung fremd, die vielmehr die ur⸗ ſprüngliche Formel O= 2 hrf † 2 ren erfordert. Aber hier, wie vielfach ſonſt gilt von der neueren Stereometrie auch wieder das ſchon früher Bemerkte, daß die Algebra wohl für die allgemeine ma⸗ thematiſche Logik, nicht aber für das eigentliche Formdenken gerechte Wege angibt.

Der ſo wichtige Satz:„Die Pyramide beträgt 4 des in Grundfläche und Höhe ihr entſpre⸗ chenden Prismas“, welcher denjenigen von der Inhaltsgleichheit mehrerer in Grundfläche und Höhe uͤbereinſtimmender Pyramiden vorausſetzt, iſt an einer Figur ziemlich ſchwer zu entwickeln, wenn man dem Vorſtellungsvermögen nicht durch ein praktiſches Verfahren zu Hülfe kommt, indem man an der fertigen Figur mit ihren Huͤlfslinien ein Stück nach dem andern dadurch wegnimmt, daß man auf der Wandtafel die betreffenden Linien wegwiſcht und die weggenommene Figur ertra zur Seite zeichnet; dann bleibt zuletzt ein eigenthümlich geformtes pyramidales Stück übrig, das der Schüler aus der ganzen Figur herauszufinden ſo leicht nicht im Stand iſt. Sehr gut verſinnlicht die Sache ein etwa durch ein prismatiſches Dickrübenſtück hingeführter zweimaliger Schnitt oder auch⸗ ein auseinander zu nehmendes Holzmodell.

Die Formel für die Oberfläche des geraden Kegels Oarn(r+ 8), d. h.„gleich dem Produkt aus der halben Peripherie der Grundfläche und der Summe von dem Radius und der ſchrägen Seitenhöhe des Kegels“ muß wieder aus derjenigen:— †rufr, nämlich der krummen Seiten⸗ fläche nebſt der Grundfläche, algebraiſch abgeleitet werden, da ſie an ſich dem Formverſtändniß fern⸗ liegt. Noch vielmehr iſt dies der Fall mit derjenigen für den Inhalt eines abgeſtumpften Kegels. Auch hier geht man davon aus, daß er den Unterſchied zwiſchen einem ganzen Kegel und einem kleineren Theilkegel an deſſen Spitze bezeichne und es entſteht nach dem älteren Verfahren die Auf⸗ gabe, aus den drei meßbaren Dimenſionen eines Kegelſtumpfs(dem oberen und unteren Radius und ſeiner Höhe) die volle Höhe des ergänzten Kegels, ſowie die des fehlenden Theils abzuleiten, was bekanntlich mittelſt einer Proportion wegen ähnlicher Dreiecke geſchieht. Dafür iſt jetzt die algebrai⸗ ſche Formel erfunden: S(der Inhalt des Stumpfs)= 4l h(G+ VGg+ 9), wo h die Höhe des Stumpfs, G und g die beiden Grundfläͤchen deſſelben bedeuten,— eine ſehr bequeme und behalt⸗ bare Formel, deren Entwicklung jedoch nur in den Unterricht der Oberklaſſen gehört, der aber beim gewöhnlichen Unterricht der Stereometrie mit Recht das ältere Verfahren, als das auf unmittelbare Anſchauung geſtützte, vorgezogen wird. Uebrigens wird auch die algebraiſche Entwicklung W Formel in Grund ja auf die nämliche angeführte Betrachtung geſtützt.*)

*) Jeder Lefer wird ſich der eigenthümlichen Schwierigkeit dieſes und ähnlicher algebraiſcher Beweiſe erinnern, einer Schwierigkeit blos um deßwillen, als dem Gedächtniß nicht immer jede nothwendige Manipulation behufs einer Formel⸗ entwicklung gegenwärtig bleibt, ſo daß blos aus Mangel dieſer oder jener Operation(Subſtitution u. dgl.), die an ſich