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Mitte zwiſchen den Umfängen eines um⸗ und eingeſchriebnen Vielecks zu beſtimmen, wo ſich bald 3,14=(für den Umfang in Bezug auf den Durchmeſſer 1) ergibt*). Erſt für eine höhere Lehrſtufe(etwa für Oberſecunda eines guten Gymnaſiums) dürfte der Wiegand'ſche Rectifications⸗ weg, der ſich auf die Sätze von dem geometriſchen Mittel des eingeſchriebnen 2— n⸗ecks(nämlich zwiſchen dem um⸗ und eingeſchriebnen n⸗eck) und von dem harmoniſchen Mittel des umge⸗ ſchriebnen 2— n⸗ecks(nämlich zwiſchen dem umgeſchriebnen n⸗ und eingeſchriebnen 2 n⸗eck) in Bezug auf die Flaͤchen bezieht,(natürlich nachdem man zuvor den Begriff von„harmoniſcher Theilung“ und„harmoniſchem Mittel“ zu dieſem Zweck vermittelt hat) nun auch mit Erfolg zu betreten ſein. — Nachdem der pythagoräiſche Lehrſatz auch auf Kreiſe gegebner Linien als Durchmeſſer an⸗ gewandt iſt(nämlich: die Kreiſe zweier Katheten als Durchmeſſer ſind zuſammen gleich dem Kreis der Hypotenuſe), oder auch der Satz vorausgegangen iſt:„Kreiſe von Linien verhalten ſich, wie deren Quadrate, da ſich überhaupt ähnliche Figuren verhalten, wie die Quadrate gleichliegender Seiten“; läßt ſich ohne Schwierigkeit auch der die Jugend intereſſirende Satz der„lunulae Hippo- cratis“, der z. B. bei Wiegand fehlt**), anreihen.

Zuletzt aber darf in dieſem II. Curs der Planimetrie der ſo wichtige Zweck nicht verſäumt werden, durch wirkliche Conſtruction die Meſſung unbekannter Verticalen und Horizontalen, den Gebrauch von Meßtiſch, Aſtrolabium und Theodolit zu erklären und„verjüngte“ Zeichnungen zu entwerfen, ſo wie Situationspläne aufzunehmen, wenigſtens das Verfahren hierbei zu verſinnlichen und klar zu machen. Der Grundſatz, daß die Formenlehre nicht nur begriffen werden ſoll, ſondern daß Auge und Hände, Verſtandescombination und Ueberlegung durch praktiſche Arbeit(wenigſtens auf dem Papier und mit den Mitteln des Reißzeugs) dabei angeleitet und geübt werden ſollen, muß ſtets lebendig gemacht werden, zumal an techniſchen Schulen, da es einmal nicht zu überſehen iſt, daß die Geometrie nicht nur allgemeine, formale, ſondern auch beſondere, ſpecifiſch bildende Smecke zu erreichen hat.

Da nur begabte, wenigſtens gerade in mathematiſcher Richtung befähigte Schüler einem blos mit Worten und Demonſtrationen unterrichtenden Lehrer folgen, ſo muß ſchon aus Ruͤckſicht auf allſeltige Betheiligung der Schüler und regeres Intereſſe an dem Unterricht den denkſchwächeren, aber vielleicht für mechaniſches Zeichnen empfänglichen Schülern Gelegenheit zur Beſchäftigung ge⸗ geben und der conſtructive Weg zur Vermittlung der math. Wahrheiten gewählt werden, wo der logiſche gar nicht, oder doch nicht allein bei ihnen zum Ziel führt.

Auch die Stereometrite läßt ſich beſonders wieder von zwei Seiten betrachten, vom Stand⸗ punkt des räumlichen Vorſtellungsvermögens aus und von demjenigen der mathematiſchen Formel. Beſonders im Anfang und beim erſtmaligen Unterricht, im Allgemeinen bei demjenigen gewöhnlicher Volks⸗ und Bürgerſchulen, gebührt dem mehr auf Formbetrachtung beruhenden Weg entſchieden der Vorzug. Auch hier iſt der Unterricht nur dann ſachgemäß, elementar und methodiſch zu nennen, wenn er von genetiſchen Entwicklungen ausgeht. Dieſem nach ſind alle Körperformen als durch Fortbewegung oder Drehung von Flächen im Raum entſtanden aufzufaſſen. Bewegt ſich eine Figur in die dritte räumliche Richtung(Höhe, Tiefe oder Dicke) unter Gleichbleiben, ſo entſtehen prismatiſche Körper, geſchieht es unter ſtäter Verjüngung bis zum Schwinden in einen Punkt, pyramidale Körper. Durch Drehung entſtehen runde Körper, dreht ſich ein Rechteck um eine Seite als Achſe: Cylinder; dreht ſich ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete:

*) Vgl. z. B. Dr. J. Müller's Elemente ꝛc. **) Dagegen theilt ihn z. B. mit: Dr. J. Schenckel's elementare Geometrie, 1845. S. 72.