—. 36—
dem Fundamentalſatz ausging, daß„Parallelen, von den Abtragungspunkten der unter ſich gleichen Stücke eines Winkelſchenkels ausgehend, auch in dem andern Schenkel ebenſoviele unter ſich gleiche Stücke hervorbringen“, ſodann von der relativen Proportionalität der bezüglichen Abſchnitte in den beiden Seiten eines Dreiecks, welche durch Parallelen hervorgebracht werden, ſo wie derjenigen der dritten Seite mit den Parallelen. Die Aehnlichkeitsſätze geſtalten ſich, mit den aufgeſtellten Congruenzſätzen übereinſtimmend, dann in folgender Weiſe: Dreiecke ſind ähnlich 1) wenn ſie einen Winkel gleich und die ihn einſchließenden Seiten proportional, 2) wenn ſie zwei(und mithin auch drei) Winkel bezüglich gleich, 3) wenn ſie ihre drei Seiten bezüglich proportional, 4) wenn ſie zwei Seiten bezüglich proportional und einen gleichliegenden(nicht eingeſchloßnen) Winkel gleich haben, der andre gleichliegende(nicht eingeſchloßne)— oder— KR iſt.
Der pythagoräiſche Beweis, entwickelt aus der Aehnlichkeit der Dreiecke, welche bei Fällung des Loths von der rechten Scheitelſpitze auf die Hypotenuſe erhalten werden, gibt eine beſonders fruchtbare algebraiſche Wiederholung des bereits auf einer frühern Stufe rein geometriſch Bewieſenen und die ſich anreihende Löſung„einer mittleren geometr. Proportionale zu zwei gegebnen Geraden“ ſehr angenehme und nützliche Conſtructionsübungen. Auch die dem pythagoräiſchen Lehrſatz ſich anſchließenden Sätze von dem Verhältniß der Seitenquadrate in anderen, als rechtwinkligen Drei⸗ ecken, von dem Verhältniß der durch das Höhenloth eines beliebigen Dreiecks gebildeten Abſchnitte einer Seite und der beiden ganzen andern Seiten(„die Summe der beiden andern Seiten verhält ſich zu derjenigen der Abſchnitte in der dritten, wie die Unterſchiede dieſer letzteren zum Unterſchied jener erſteren“), ferner der vom Quadrat der Transverſale eines beliebigen Dreiecks und den Qua⸗ draten der Dreiecksſeiten(„das Quadrat einer Transverſale nach der Mitte einer beliebigen Drei⸗ ecksſeite als Grundlinie iſt gleich der halben Summe der Quadrate der beiden andern Seiten ver⸗ mindert um das Quadrat der halben Grundlinie“) werden vorzugsweiſe mittelſt algebraiſcher Formeln entwickelt und eignen ſich erſt für algebraiſch gewandte Schüler. Doch können die erſtge⸗ nannten ganz ähnlich dem urſprünglichen Pythagoras auch rein geometriſch mittelſt Hülfslinien, der Dreieckscongruenz und des Satzes von dem Verhältniß von Dreiecken zu Parallelogrammen bei gleicher Baſis und Höhe*) bewieſen werden, was vor geübteren Schülern zur Stärkung und Uebung des geometriſchen Auffaſſungsvermögens und der geometr. Beweisführung ſehr zu empfehlen wäre; ſchon wegen der Analogie mit dem magister matheseos und der Vollſtändigkeit der Dreieckslehre in dieſer Beziehung gebührt in gründlichem geometriſchen Unterricht dieſen Sätzen alle Beachtung.
Während wir die in Wiegand's Lehrbuch behandelte„harmoniſche Theilung“ von Linien gern entbehren wollen, müſſen wir um ſo mehr Nachdruck auf die Lehre von den Proportionen beim Kreis legen, welche 1) die wichtige und intereſſante Lehre vom goldnen Schnitt, 2) den für die Trigonometrie(zum Beweis der Sinusſummen und ⸗Differenzen zweier Winkel ꝛc.) wichtigen ptole⸗ mäiſchen Lehrſatz und 3) den Satz vom Inhalt eines Dreiecks(J= e) vermitteln.— Was die Quadratur und Rectification des Kreiſes betrifft, ſo möchten wir in deinem Falle das ſehr einfache elementare Verfahren übergehen, den Kreis einfach als unendliches Vieleck darzuſtellen, deſſen ſämmt⸗ liche Radialdreiecke die Peripherie zur Geſammtſumme der Grundlinien und den Radius zur Höhe haben, woraus ſich für den Inhalt einfach ergibt. Die Reetification der Peripherie p aber iſt Anfangs am angemeſſenſten aus der einfach pythagoräiſchen Berechnung der Seite eines ein⸗ und umbeſchriebnen Sechs⸗, Zwölf⸗ ꝛc. Ecks abzuleiten und als nahezu identiſch mit der arithmetiſchen
.
*) Vgl. z. B. Hunäus II. 1§. 138 und 244.