daß ſeine Figur das Hypotenuſenquadrat und innerhalb deſſelben als Kern das Quadrat des Katheten⸗ unterſchieds, umgeben von viermal dem rechtwinkligen Dreieck, darſtellt. Da nun in der Algebra (a— b)? oder das Quadrat des Unterſchieds beider Katheten= a?— 2 ab+ be, 2ab aber nichts anderes bedeutet, als zweimal das Rechteck aus den Katheten a und b, das— 2ab der Formel für das inwendige Differenzenquadrat aber durch die vorhandenen 2 ab, welche die vier rechtwinkligen Dreiecke der Figur vorſtellen, aufgehoben wird, ſo iſt das Hypotenuſenquadrat eben gerade noch = a*+ b². Ausgeführt ſieht die Entwicklung ſo aus: Die Figur beſteht aus vier rechtwinkligen Dreiecken(— 2 ab) und dem kleinen Differenzenquadrat(- a*— 2 ab+ b*); 2 ab+† a*— 2 ab † b*= a¹+ b.— Hier ſteht man in der Figur nicht vor Augen, was man behauptet; man iſt nicht durch innere Anſchauung von der Richtigkeit des Reſultats überzeugt, ſondern nur durch das mathematiſche Schließen der Rechenformel. Dieſe iſt aber nicht unmittelbar das Räumliche ſelbſt, weßhalb ein ſolcher Beweis immer künſtlich beigebracht erſcheint und Anfänger weniger befriedigt.
Nach Allem duürfte für die untere Lehrſtufe bis nach Tertia hin, wo das Algebrarechnen erſt in Fleiſch und Blut überzugehen pflegt, ſolches algebraiſche Beweisverfahren am beſten unterbleiben und dem geometriſchen Platz laſſen.— Der ältere Lehrſatz des Pappus(das Parallelogramm einer Dreiecksſeite iſt gleich der Summe derjenigen Parallelogramme der beiden andern Seiten, welche durch deſſen Conſtruction beſtimmt werden) beruht auf durchaus anſchaulichem Vergleichen nur von in Beziehung zu einander ſtehenden Parallelogrammen, von denen die Gleichheit des Flächeninhalts bei gleicher Baſis und Höhe gilt, und dieſem Satz ähnlich iſt der Schmid'ſche des Pythagoras mit uͤber das Dreieck hinliegendem Hypotenuſenquadrat. Beide Beweiſe finden in einem 1. Curſus der Planimetrie mit Recht ihre Stelle.
Die Sätze von den vier merkwurdigen Punkten des Dreiecks, ſowie von dem um⸗ und einge⸗ ſchriebenen Kreis in Bezug auf das Dreieck, diejenigen vom Sehnen⸗ und Tangentenviereck, ſowie von den regulären Sehnen⸗ und Tangentenvielecken läßt Wiegand, da ſie theilweiſe mittelſt alge⸗ braiſcher Gleichungen entwickelt werden müſſen, der Zuſammengehörigkeit wegen erſt im 2. Curſus der Planimetrie folgen, wiewohl ſie größtentheils als ſehr übende, auch ohne logiſche Beweisführung uͤberzeugende Ausführungen bei dem gewöhnlichen Unterricht in die erſte Unterrichtsſtufe aufgenommen werden können. Die Sätze über die Sehnen und Tangenten bieten alle vortrefflichen Stoff zu geom. Conſtructionsübungen(als: Aufſuchen des Centrums, Zeichnen von Kreiſen durch drei gegebne Punkte oder um Dreiecksecken, Conſtruiren von Kreisbögen mit gegebner Pfeilhöhe und Spannung, das Zeichnen von regulären Tangentialdrei⸗, vier⸗, fünfecken ꝛc.), welche Uebungen zwar nicht zur Ent⸗ wicklung mathematiſch logiſtrender Beweisführung, wohl aber zu derjenigen des mathematiſchen Formſinns und des techniſchen Darſtellens von großer Wichtigkeit ſind. Dies gilt durchaus auch von ausgeführten Beiſpielen zur Flächenberechnung geradliniger Figuren.
Erſt im II. Curſus der Planimetrie(auf der eigentlichen Mittelſtufe des höheren Jugendunter⸗ richts), etwa in der Tertia eines Gymnaſtums, wo die Lehre der Proportionen und das Buchſtaben⸗ rechnen mit dem Radiciren bereits gelehrt und begriffen iſt, beginnt aber mit Recht die Lehre von der Aehnlichkeit der Figuren, insbeſondere der Dreiecke. Obgleich hier ſchon das Formelentwickeln und das Behandeln von Proportionen und Gleichungen nicht zu umgehen iſt, ſo kann man dem Prinzip der Anſchauung und Formvorſtellung doch auch hier alle gebuͤhrende Rechnung tragen.
Nach der älteren Methode führen ſich alle Aehnlichkeitsbeweiſe auf den einen Aehnlichkeits⸗ ſatz der gleichen Dreieckswinkel zurück und es iſt hauptſächlich nur der Conſequenz wegen, daß man
den Congruenzſätzen analog eine Reihe von Aehnlichkeitsſätzen aufgeſtellt hat, indem man dabei von 5*