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Annſchauungs⸗ und den Formenſinn bildende Uebungen laſſen ſich an die bekannte Verwandlung der Figuren in Dreiecke gleichen Flächeninhalts knüpfen. Hier wird bekanntlich folgender⸗ maßen perfahren: Nachdem mit einer Diagonale vom Vieleck ein Dreieck abgetrennt worden, läßt man zu dieſer Diagonale als Dreiecksbaſis durch die gegenüberliegende Spitze eine Parallele ziehen. Verlängert man nun eine der nächſten Vielecksſeiten bis in die genannte Parallele und verlegt dorthin die Spitze des abgeſchnittenen Dreiecks, ſo iſt das erhaltne neue Dreieck dem vorherigen gleich, weil ſte bei derſelben Baſis gleiche Höhe haben. Nun iſt es aber eine ſehr bildende Methode und in Anſehung des Verſtändniſſes der ganzen Operation überaus wichtig, folgende verſchiedne Fragen an die Conſtruction zu knüpfen: Welches Dreieck ſoll verändert werden? Was für eine Linie muß ich von dem in der Parallele gefundenen Punkt ziehen? Wie heißt das nun erhaltene neue Dreieck? Warum iſt dieſes dem vorigen gleich? Welches iſt die gemeinſame Baſis und die gleiche Höhe?— Dann läßt man auf der Tafel die in Wegfall kommenden Linien nur noch punktirt(blos angedeutet) ſtehen und fragt: Welches Figureneck iſt jetzt weggefallen oder weniger vorhanden? Der Figurenreſt plus dem neuen Dreieck iſt aber inhaltsgleich mit demſelben Reſt plus dem vorigen Dreieck, was iſt daher blos geſchehen? u. ſ. f. Auf der Vornahme ſolcher an die Anſchauung appellirenden Fragen beruht eben das ganze Geheimniß der Verſtändlichkeit und ſie liefern das einzige Mittel, auch dem Schwachen die Einſicht in die Sache zu ermöglichen und nur bei einem ſolchen Verfahren folgen un⸗ ruhige, flatterhafte oder denkſcheue Knaben überhaupt dem mathematiſchen Unterricht, ſofern dazu auch noch wirkliches techniſches Ausführen der Sache kommt.

Aehnlich iſt es z. B. mit der Auflöſung und dem geometriſchen Beweis des pythagoräiſchen Hauptſatzes in ſeiner urſprünglichen Form. Hier muſſen erſt die verſchiednen Anſchauungsfragen geſchehen, nachdem die erforderlichen Hülfslinien gezogen ſind. Von Selbſtfinden der Wahrheit durch den Schüler kann erſt bei einer Wiederholung die Rede ſein; beim erſten Mal muß der Lehrer geben, er muß an die Stelle des Erfindergenies beim Entdecker treten und beim Schüler das thun, was der glͤckliche Einfall beim Entdecker that. Unbedingt läßt ſich natürlich das Prinzip des Selbſtfindens ohne jedes Zuthun des Lehrers überhaupt nirgends durchführen. Doch vermitteln das lebendige, ſelbſtdenkende Verſtändniß Anſchauungsfragen, wie folgende: Welche Dreiecke haben mit Quadrat und Rechteck gleiche Baſis? Welche gleiche Baſis hat dies Dreieck mit dem Quadrat, dieſes andre mit dem Rechteck? In wie fern hat dies Dreieck mit dem Quadrat, jenes mit dem Rechteck auch gleiche Höhe?(Welche Linie ſtellt die gleiche Höhe vor?— Zeichnen der auswärts fallenden Hbhen⸗ lothe! Warum ſind dieſe Höhenlothe mit der Quadrat⸗ und Rechteckshöhe übereinſtimmend 2)— Bei Erledigung der Congruenz der Huͤlfsdreiecke laſſe man z. B. ſagen: Der ſtumpfe Winkel bei C im einen Dreieck iſt gleich dem ſtumpfen bei C im andern, weil ſie aus gleichen Stücken beſtehen, näm⸗ lich einem rechten und ein und demſelben ſpitzen.— Ueberhaupt kann hier in dem bekannten magister matheseos wieder in gleichem Maße Formſinn, Schluß⸗ und Sprachvermögen durch ange⸗ meſſenes Fragen in Uebung geſetzt werden. Das Gedächtniß muß hier, wie überall in der Mathematik, das am wenigſten beanſpruchte Seelenvermögen ſein.

Wir haben ſchon mehrmals die Anſicht ausgeſprochen, daß das geometriſche Verfahren des Figurenbeweiſes dem algebraiſchen des Formelbeweiſes vorzuziehen ſei und kommen hier beim pytha⸗ goräiſchen Lehrſatz namentlich wieder darauf. Von allen den vielen Beweiſen iſt der eben berührte urſprüngliche und der J. Schmid' ſche(dem Lehrſatz des Pappus entnommene, blos auf die Flächengleichheit von Parallelogrammen baſirende) aus pädagogiſchen Gründen der beſte. Wiegand gibt ihn dafür(der Tendenz entſprechend, Alles wo möglich algebraiſch nachzuweiſen) in der Art,