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laͤnglich(Oblonge), ebenſo die Schiefecke entweder gleichſeitig(Rauten, Rhomben) oder länglich (Rhomboide, längliche Rauten). Sind bei einem Trapez die ungleichlaufenden Gegenſeiten gleich⸗ lang, ſo erhält es den Namen„Antiparallelogramm“.(Analytiſch: Welche Merkmale hat das Anti⸗ parallelogramm?)— Eine Stammtafel der Vierecke ſtellt ſich demnach wie folgt:

Viereck Parallelogramm, Trapez, Trapezoid. 4 Rechteck, Schiefeck. Antiparallelogramm, eigentliches Trapez.

4 Quadrat, Oblongum. Raute, Rhomboid.

Eine vortreffliche Uebung präciſen Definirens läßt ſich nach Anleitung dieſer Tafel anſtellen; jeder Begriff findet hier ſicher und ſichtbar ſeinen naͤchſten Oberbegriff, z. B. ein Quadrat iſt ein gleichſeitiges Rechteck, das Rechteck ein rechtwinkliges Parallelogramm, das Parallelogram ein parallel⸗ ſeitiges Viereck ꝛc.“ Warum wäre z. B. eine ſchlechte Definition:„Ein Quadrat iſt ein Viereck, welches ꝛc.?— An dieſer Stelle läßt ſich für die Logik die fruchtbarſte Ausbeute machen und eine Anzahl ganz nützlicher mündlicher oder ſchriftlicher Uebungen anknüpfen. In ſolcher Weiſe genetiſch und durch Selbſtfinden entwickelt, bleiben die Begriffe in ihrer Bei⸗ und Unterordnung unperlierbares Eigenthum.

Die Sätze uüber Vierecke und Parallelogramme ſind eben ſo wichtig, als ihre Beweiſe leicht und für elementaren Unterricht geeignet. Auch von den Vielecken läßt ſich das Meiſte elementar⸗geometriſch behandeln, als; die Claſſiſication in reguläre und irreguläre, der Betrag ihres Geſammtwinkelgehalts und des Einzelwinkels im regulären Polygon, ausgehend entweder von der Zerlegung in Strahlendreiecke oder mittelſt Diagonalen. Die Formel dabei wird vorläufig wieder von einem Zahlenbeiſpiel unter Subſtitution des n und n— 3 abgeleitet. Die Diagonalzahl für jedes Polygon zu einem Eck und zu allen Ecken insgeſammt muß an etlichen Polygonen nachge⸗ wieſen und ſo das allgemeine Geſetz gefunden, in Zahlen und dann in allgemeinen Formeln aufge⸗ ſtellt werden. Auch das Zeichnen des Sechs⸗ und Achtecks in gegebne Kreiſe und auf gegebene Baſen bildet echt elementariſch zu behandelnde Aufgaben, nachdem zuvor der Satz erledigt iſt:„Halbirt man die Winkel regulärer Polygone, ſo zerfällen die Halbirungslinien dieſe in lauter congruente gleichſchenklige Dreiecke, deren Winkel an der Spitze, die Centriwinkel, alle einander gleich ſind und immer— betragen, woran ſich die Fragen reihen: Wie groß iſt der Centriwinkel des regulären Sechsecks? Wie groß ſein Polygonalwinkel? Iſt jeder Polygonalwinkel halbirt, in was für Dreiecke iſt dann das reguläre Sechseck zerfällt? Was für eine Linie des Kreiſes kann daher zum Einzeichnen eines regulären Sechsecks verwendet werden? Wie wird man auf eine gegebne Baſis ein reguläres Sechseck errichten? Was müſſen für Winkel an der Baſis eines regulären Achtecks anliegen?(Auf⸗ finden und Erklären des Verfahrens, mit dem Zirkel allein dieſe Aufgabe zu löſen.) Wie wird man überhaupt reguläre Vielecke in Kreiſe einzeichnen und auf gegebne Linien als Baſen errichten können? Verſuche, Fünf⸗ und Neunecke mit Berechnung der Centri⸗ und Polygonalwinkel zu zeichnen!(Wobei ſich die Mißlichkeit des Transporteurverfahrens bald von ſelbſt ergibt.)

Bei der Flächeninhaltsberechnung laſſe man Dreiecke verſchiedener Form, mit ein⸗ und auswärts fallenden Höhenlothen zeichnen und nach wirklichen Maßſtabzahlen berechnen. Vortreffliche 5