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zum erſten, während bei den Aelteren gewöhnlich der mit 3 Seiten als erſter galt, laͤßt ſich beſon⸗ ders im Hinblick auf die Analogie in der Aufeinanderfolge der ſpäteren Aehnlichkeitsſätze immerhin anwenden. Namentlich aber iſt der Fall„2 Seiten und ein der kleineren Seite anliegender Winkel“ (bei J. Müller der dritte) am einleuchtendſten auf dem Weg der Conſtruction eines Dreiecks zu vermitteln, indem die Unrichtigkeit der Formbeſtimmtheit ſofort reſultirt, wenn man verſucht, den der größeren Seite anliegenden als Beſtimmungsſtück aufzunehmen. Die Wiegand'ſche Formulirung dieſes Congruenzſatzes:„wenn in zwei Dreiecken 2 Seiten und der Gegenwinkel der einen bezüglich gleich und überdies die beiden Gegenwinkel der andern gleichen Seiten zugleich ſtumpf oder ſpitz ſind“ und ihre Deduction läßt ſich nur mit größter Sammlung von Schülern begreifen. Daß man den aͤlteren 5ten Congruenzſatz(1 Seite, ein an⸗ und ein nichtanliegender Winkeh) in denjenigen mit 1 Seite und den beiden anliegenden Winkeln als Zuſatz aufgehen läßt*), iſt zu rechtfertigen; doch dürfte ihrer ſynthetiſchen Conſequenz wegen— zumal für den Elementarunterricht der Unterclaſſen — immerhin die alte Zahl und Reihenfolge der Congruenzfälle auch ihrer Berechtigung nicht entbehren, nämlich:„Dreiecke decken ſich, 1) wenn ſie die 3 Seiten, 2) wenn ſie 2 Seiten und den davon ein⸗ geſchloſſenen Winkel, 3) 2 Seiten und den der kleineren Seite anliegenden, 4) 1 Seite und die beiden anliegenden, 5) 1 Seite, 1 an⸗ und einen nichtanliegenden Winkel bezüglich gleich haben. Man laſſe aber die Congruenzſätze vorher am beßten ſo ausſprechen, daß man ſie auf die Form⸗ beſtimmtheit eines Dreiecks bei gegebenen Stücken bezieht, nämlich:„Ein Dreieck iſt beſtimmt 1) wenn ſeine 3 Seiten gegeben ſind, 2) 2 Seiten und der davon eingeſchloſſene Winkel u. ſ. f.
Die verſchiedenen wichtigen Dreiecksſätze und Conſtructionsaufgaben, welche auf den Congruenz⸗ ſätzen beruhen, bieten überall Stoff 1) zur Bildung des geometriſchen Formſinns, des richtigen Er⸗ kennens und Auffaſſens der Formverhältniſſe, 2) zur Bildung des logiſirenden Vermögens, 3) zur Uebung des präciſen mündlichen Ausdrucks, 4) zur Uebung correcten geometriſchen Zeichnens. Das letztere darf nirgends außer Acht gelaſſen werden, da es eben ſo viel reellen, als pädagogiſchen Werth hat, letzteres beſonders für ſchwächere Schüler. Ein überall feſtgehaltner Grundſatz muß es ſein, das Gelehrte dem Schüler(etwa unter Wiederholung der Aufgabe mit geänderten Buchſtaben) immer durch ſchriftlich⸗zeichnende Arbeiten zum bleibenden Eigenthum zu machen. Aus dieſem Grund ſind allerlei zur Sache gehörende Conſtructionen hier überall ſehr am Ort und in dieſer Weiſe läßt ſich das oft beſprochene Princip der Verbindung von Formenlehre und Zeichnen allein rechtfertigen. Formenlehre darf nicht ohne das genaue, mathematiſch⸗ richtige Zeichnen aller zur Sache gehörenden Conſtructionen gelehrt werden.
Bei Behandlung der Viexrecke verfahre man wieder heuriſtiſch⸗ ſynthetiſch: Vierecke können haben 1) die gegenüberliegenden Seiten gleichlaufend(parallel), oder 2) ungleichlaufend, oder 3) theils gleich⸗, theils ungleichlaufend; hiernach ſind ſie 1) Parallelogramme oder 2) Trapezoide, oder 3) Trapeze(Paralleltrapeze). Dann folgen die analytiſchen Fragen: Was ſind Parallelogramme für Vierecke? Trapeze? Trapezoide?— Synthetiſche Fragen ſind darauf wieder: Wie können ſich bei Parallelogrammen in Bezug auf gegenſeitiges Längenverhältniß die Seitenpaare verhalten?(Die Seitenpaare können gleiche und ungleiche Länge haben.) Wie in Anſehung der Stellung der Seiten⸗ paare aufeinander?(Sie können gerad, nämlich rechtwinklig, oder ſchief aufeinander ſtehen.) Was ſind demnach längliche, gleichſeitige Parallelogramme? Was Rechtecke? Was Schiefecke? Hiernach ſtellt ſich als Syſtem feſt: Vierecke ſind entweder Parallelogramme, oder Trapeze und Trapezoide; Parallelogramme entweder Rechtecke oder Schiefecke; die Rechtecke entweder gleichſeitig(Quadrate) oder
*) S. Wiegand 1. Curſus der Planimetrie(§ 64 b.)