Unter die Winkelſätze ſind aufzunehmen und nächſte Anwendungen der eben vorausgegangenen die Sätze:„Winkel, deren Schenkel ſenkrecht aufeinanderſtehen, ſind einander gleicht und zwar 1) „wenn dies im Scheitel derſelben“ und 2)„wenn es auch außerhalb deſſelben in beliebigen Punkten der Schenkel der Fall iſt“. Den erſteren Satz wuͤrde ich erſt in genetiſcher Weiſe ausdrücken:„Er⸗ richtet man in dem Scheitel eines Winkels(dabei zuerſt eines ſpitzen, dann auch eines rechten und ſtumpfen) auf jeden Schenkel Lothe, ſo entſteht ein dem urſprünglichen gleicher Winkel.“ Aehnlich den zweiten Fall!— Ferner:„Winkel, deren Schenkel parallel laufen, ſind einander gleich oder betragen unter Umſtänden 2 Rechte“, indem ſie ſich entweder als gethennie detiſch oder Sichaea winkel, oder als getrennte Nebenwinkel darſtellen.

Bei der Behandlung der Figuren muß man wieder genetiſch und heuriſtiſch verfahren.— die Flaͤche durch drei Gerade geſchloſſen(begrenzt), ſo iſt die Figur ein Dreieck(„Dreieck“, nicht „Dreiſeit“, denn wie viel Seiten, ſo viel Ecken hat eine Figur, wozu Nachweis am Drei⸗, Vier⸗, Fünfeck ꝛc.). Die Ecken ſind Winkel. Was für Winkel können die des geradlinigen Dreiecks ſein? (3 ſpitze, 2 ſpitze und ein rechter, 2 ſpitze und ein ſtumpfer; ſind andre Fälle möglich? welche z. B. nicht?)“— Die Sätze von dem Außenwinkel eines Dreiecks und von dem Betrag der drei Winkel deſſelben ſind eben ſo leicht, als wichtig und ſchließen ſich allem Vorausgegangenen als unmittelbare Anwendung an. Die Claſſification der Dreiecke iſt heuriſtiſch und ſynthetiſch zu entwickeln; nämlich:„Sind alle Winkel ſpitz, ſo iſt ein Dreieck„ſpitzwinklig“, iſt einer recht, die andern ſpitz,—„rechtwinklig“, iſt einer ſtumpf, die andern ſpitz,—„ſtumpfwinklig“. Dann frage man umgekehrt, analytiſch:„Was ſind ſpitz⸗, recht⸗, ſtumpfwinklige Dreiecke?“ Dann in Betracht der Seiten: Welche Fälle können ſtattfinden? Sind alle Seiten gleich, ſo iſt ein Dreieck „gleichſeitig“, ſind 2 gleich, t ungleich und zwar entweder kürzer oder länger,—„gleichſchenklig“; ſind alle Seiten ungleich,—„ungleichſeitig“. Was ſind gleichſeitige, gleichſchenklige ꝛc. Dreiecke? — Dann gehe man zur Unterſuchung der möglichen Fälle in Hinſicht auf Winkel und Seiten zugleich in den Fragen: Sind möglich 1) ſpitzwinklige gleichſeitige, gleichſchenklige, ungleichſeitige? 2) Rechtwinklige gleichſeitige, gleichſchenklige, ungleichſeitige? 3) Stumpfwinklige gleichſeitige, gleich⸗ ſchenklige, ungleichſeitige?“ Hierbei ergibt ſich die Feſtſtellung des Syſtems: 1) Spitzwinkliges gleichſeitiges 2) Spitzwinkliges gleichſchenkliges 3) Spitzwinkliges ungleichſeitiges 4) Rechtwinkliges gleichſchenkliges 5) Rechtwinkliges ungleichſeitiges 6) Stumpfwinkliges gleichſchenkliges 7) Stumpf⸗ winkliges ungleichſeitiges Dreieck. Daran reihen ſich nun 1) Uebungen im Erkennen und Beurtheilen und 2) im Zeichnen der 7 Arten Dreiecke.*) Das gleichſeitige ſpitzwinklige Dreieck iſt zugleich gleich⸗ ſchenkliges ſpitzwinkliges, erſteres daher in dem zweiten einbegriffen.(Nur wodurch insbeſondere characteriſtrt? Was findet bei ihm Beſonderes ſtatt?). Der Begriff„reguläres“ oder gleichſeitiges, gleichwinkliges Dreieck iſt bis zu den Vielecken im Allgemeinen zu verſchieben, wo er erſt in der Nothwendigkeit der Gleichſeitigkeit der radialen Theildreiecke des Sechsecks zur Erledigung kommt. Bei Betrachtung der Congruenzſätze iſt der ältere Weg der meiſten Lehrbücher**), indem man von der Conſtruction eines Dreiecks ausgehend auf die Nothwendigkeit der beſtimmten Form bei gegebenen drei Stücken auf das Zuſammenfallen mehrerer mit denſelben Beſtimmungsſtücken con⸗ ſtruirter ſchließt, der aus pädagogiſchen Gründen zweckmäßigere. Die neuere(z. B. Wiegand'ſche) Aufeinanderfolge, namentlich die Erhebung des Wweiten Falls(2 Seiten und der eingeſchloßne Winkel)

*) Vgl. des V.'s zeichnende Formanſchauung, 1854 S. 24 f. **) Vgl. u. a. die guten Entwicklungen in Dr. J. Müller's Elementen der ebnen Geometrie 1. Aufl. 1838, 2. Aufl. 1860.(Vieweg in Braunſchweig).