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ſo unendlich wichtig für die ganze Geometrie, laſſen ſich durchaus auf Neben⸗ und Scheitelwinkel zurückführen. Auch ſie kann man nämlich genetiſch aus Scheitelwinkeln ableiten und es muß dann heißen:„Läßt man eine der Linien eines Scheitelwinkelpaars in unveränderter Richtung ſich ſeitwärts fortbewegen, ſo bildet ſie in der urſprünglichen und nachherigen Lage Gegen⸗ und Wechſelwinkel.“ Dieſe liegen alſo an Parallelen, die durch eine gemeinſame Secante geſchnitten werden. Man zeichne hier eine Figur, indem man verfährt— was mit dem Lineal leicht anſchaulich geſchehen kann—, wie eben angegeben. Die Durchſchnittslinie beider Parallelen nehme man ſchief*), d. h. man gehe nicht von rechten, ſondern ſchiefen(ſpitzen und ſtumpfen) Scheitelwinkeln aus; ſonſt würde man lauter gleiche(nur rechte) Winkel erhalten. Die acht Winkel erhalten nun die acht erſten Buchſtahen des Alphabets, am beßten in der Weiſe, daß a und b., c und d, e und f zc. jedesmal„correſpondiren“ d. h. gleiche Lage haben. Alsdann bilde man erſt das anſchauende, formauffaſſende Moment, indem man fragt: Welche Winkel haben hier gleiche Lage an beiden Parallelen?(a mit b u. ſ. w.) Welche gleiche Lage haben ſie denn?(a und baliegen beide rechts neben der Secante über den Parallelen, oder links neben der Secante unter den Parallelen u. ſ. f.) Welche Winkel wechſeln in ihrer Lage, indem einer zur Linken, der andre zur Rechten der Secante liegt?(a und h ꝛc.) Was ſind Wechſelwinkel? Welche wird man Gegenwinkel nennen? Was ſind innere Gegenwinkel? Aeußere Gegenwinkel? Innere, äußere Wechſelwinkel? Wie wird man die„correſpondirenden“(entſprechenden oder gleichliegenden) Gegenwinkel(z. B. a und b) auch nennen können?(Warum„gemiſchte“ oder„innere und äußere“*) Wie liegen innere Gegen⸗ winkel?(Antw. Auf derſelben Seite der Secante zwiſchen den Parallelen.) Aehnlich zu beantworten ſind die Fragen: Wie liegen äußere, wie innere Wechſelwinkel? Wie gemiſchte? u. ſ. f. er

Hier bietet ſich die vortrefflichſte Gelegenheit für die Uebung eines guten ſprachlichen Aus⸗ drucks gemachter Sinnenauffaſſung(gewonnener Formbegriffe), die der Methodiker um keinen Preis außer Acht und unbenutzt läßt, obſchon die meiſten mathematiſchen Lehrbücher leicht darüber hinweggehen. Beſonders aber iſt hier der Ort, ſehr übende und zweckmäßige geometriſche Darſtellungen einerſeits und Auffaſſungsübungen andrerſeits vorzunehmen Was letztere betrifft, ſo kommt es auf Erkennen und Beurtheilung vorkommender Winkel dieſer Art in irgend welchen Figuren in der ganzen Geometrie beſonders an und bedingt jede ſpätere Beweisführung. Raſches Erkennen und Herausfinden aus gegebnen Figuren oder Liniencombinationen faͤu an ſich nicht jedem Schüler leicht und muß abſichtlich geübt werden.**)

Was nun die Sätze über die genannten Winkel betrifft, ſo können dieſelben einfach auf Neben⸗ und Scheitelwinkel bezogen werden und müſſen von der Identität der„correſpondirenden Winkel“ ausgehen. Dieſe ſind nur eine Wiederholung desſelben Winkels, was einleuchtet, wenn man den Abſtand der Parallelen= 0 werden läßt. Aeußere Gegenwinkel ſind blos auseinander gerückte Nebenwinkel und betragen 2 Rechte, äußere Wechſelwinkel auseinander gerückte Scheitelwinkel und einander gleich, innere Gegenwinkel übereinander weggeſchobene Nebenwinkel(= 2)), innere Wechſelwinkel auseinander gebrachte Scheitelwinkel und einander gleich, gemiſchte Wechſelwinkel wieder auseinander gebrachte Nebenwinkel(= 21). Doch laſſen ſich der Dialektik(des mündlichen uud ſchriftlichen Beweisführens) wegen die gewöhn⸗ lichen Schlußbeweiſe der Lehrbücher hier mit Nutzen in Anwendung bringen und zur Vorübung der math. logiſchen Beweisführung überhaupt methodiſch verwerthen.

*) In manchen Elementarleitfäden geſchieht es im rechten Winkel. **) Vgl. hierin des Verfaſſers zeichnende Formanſchauung ꝛc., 1854. S. 184ff.