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Zurechtweiſung uͤber die Bezeichnung des Winkels, mit 3, mit 1 Buchſtaben; letzteres iſt der Kürze und Ueberſichtlichkeit wegen vorzuziehen und überall im Lehrbuch bei Winkeln einzuhalten. Iſt der Winkel ganz geſchloſſener(vollſtändig begrenzter) Flächenraum? Wo befindet ſich die„Oeffnung“ des Winkels? Was für Oeffnungen haben gleiche Winkel bei gleichlangen Schenkeln? bei ungleichen? Auf Erſteres ſtützt ſich das Verfahren, mit dem Zirkel gleich große Winkel ohne Transporteur in jeder Lage zu zeichnen, welches Stoff zu nützlichen Conſtructionen gibt, als: links an eine Senkrechte einen Winkel dieſer oder jener Art mit dem Scheitel oben, unten u. ſ. f. Erklärung des Begriffs „Grad“ und Beſprechung der Kreiseintheilung in 360 als der aus arithmetiſchen Gründen vortheil⸗ hafteſten; Bezeichnung der Winkelgröße in Graden und Erklärung, wie Gebrauch des Trans⸗ porteurs, woran ſich Uebungen im Meſſen gegebner und im Zeichnen aufgegebner Winkel mit dem Transporteur knüpfen.

In allem Dieſem iſt genetiſcher, anſchaulicher, Selbſtthätigkeit und Intereſſe erweckender, ſo wie Fertigkeit und Anſtelligkeit, Formſinn und Augenmaß bildender, nirgends mechaniſcher und unzugänglicher, nur mit dem Gedächtniß aufnehmbarer Stoff die Fülle und kann von jedem einiger⸗ maßen gebildeten Methodiker 1) die geometriſche Begriffsbildung 2) die Formauffaſſung und Form⸗ darſtellung 3) die mündliche adäquate und präciſe Bezeichnung und Richtigkeit des Ausdrucks, endlich 4) die Gewandtheit in Handhabung der mathematiſchen ſchriftlichen Bezeichnung angeſtrebt und gebildet werden.

Die Arten der Winkelgeſellſchaften und deren ſo wichtige mathematiſche Geſetze muͤſſen alle genetiſch aus dem einen gegebnen Winkel hergeleitet werden. I. Nebenwinkel entſtehen, wenn man einen Schenkel eines ¾+‿ über den Scheitel hinaus verlängert. Da ſie zuſammen eine halbe Drehung ausmachen oder einen geſtreckten+ bilden, ſo gilt der Lehrſatz:„Nebenwinkel betragen zuſammen 2 Rechte“. Es können auch 3, 4 und mehr Winkel einen geſtreckten oder ſo viel, als ein Nebenwinkelpaar betragen. II. Scheitel⸗ oder Vertikalwinkel entſtehen, wenn man die beiden Schenkel eines ¾³ über den Scheitelpunkt verlängert. Es entſtehen zugleich zwei Scheitelwinkelpaare. Scheitelwinkel ſind einander gleich; es ſind identiſche Winkel nur in entgegen⸗ geſetzter Lage, denn der Drehungsweg des einen Schenkels zum andern iſt bei jedem wegen Identität der ſich drehenden Linie derſelbe. Dies überzeugt ſchon. Doch kommt nicht ohne beſonderen dialektiſchen Nutzen der bekannte geometriſche Beweis hinzu, der das Ariom zu Hülfe nimmt „Gleiches von Gleichem bleibt Gleiches“.— Von ausnehmendem Werth iſt es für die ganze mathematiſche Bildung, hier den mündlichen und ſchriftlichen Ausdruck durch Einführung ganz correcter und eleganter Beweisführung zu ſchulen. Wie überall weiterhinaus muß unmittelbar neben die anſchauliche, ſauber und correct ausgeführte Figur der in ſtrenger Form, blos mit Buchſtaben und Zeichen geſchriebene Beweis vom Schuler ſelbſtthätig gefunden oder doch ſelbſtändig reproducirt werden, nachdem mit veränderten Buchſtaben daſſelbe mündlich und ſchriftlich bereits an der Schul⸗ tafel durchgenommen iſt. Die Selbſtcorrectur aller Arbeiten, die der pädagogiſche Lehrer natürlich alle wenigſtens angeſehen und beurtheilt haben wird(wobei es ſehr gut iſt, beſondere Muſter⸗ arbeiten einzelner Schüler den andern zur Beſchämung und— was mehr iſt— zur Nachahmung vorzuhalten) iſt unter Anleitung des Lehrers an der allen gemeinſamen Figur auf der Wandtafel ſtets leicht und ſicher vorzunehmen. Bleiben dennoch Fehler ſtehen, ſo ſind ſie eben nur Beweiſe kindlicher Unreife und Unachtſamkeit und kindlichen Leichtſinns, welche Gebrechen nachhaltig bekämpft werden müſſen und ſich auf einmal nie verlieren, oft bei unglücklichen Dispoſitionen nie ganz beſeitigen laſſen. III. Die Gegen⸗ und Wechſelwinkel der Lehrbücher, in ihrem Verhalten