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nach b, von a nach o, von a nach d; ſodann von b nach e, von d nach dz; endlich von e nach ch u. ſ. w.— Will man die Combinationsformel— hier ſchon lehren, ſo kann dies unter Aus⸗ führung eines größeren Zahlenbeiſpiels und Anſchreiben aller erhaltenen Amben(Strecken), darauf Addiren derſelben, an beſtimmten Zahlen und unter Subſtitution des n⸗Buchſtabens ſchon geſchehen, kann aber, da nur ſtärker begabte Schüler Anfangs das verſtandesmäßig(nicht blos mechaniſch begreifen, auch unterbleiben.

Bei Betrachtung der geraden Linien entwickle man die Begriffe der Richtung einer Linie auch wieder in der ſenkrechten und der wagrechten Ebne, als: Linie ab läuft*) gerade(ſenkrecht) aufwärts, Linie ac gerade(ſenkrecht) abwärts, ad rechts ſeitwärts, ae links ſeitwärts, af rechts ſchräg(ſchief) aufwärts, ag rechts ſteil aufwärts, ah rechts flach aufwärts**) u. ſ. w.; auf der wagrechten Ebne: Linie ab läuft gerade vorwärts(in Beziehung auf die Stelle des Sprechenden), ac gerade rück⸗ oder hinterwärts, ad gerade rechts ſeitwärts, ae links ſeitwärts, af rechts ſchräg vorwärts, ag links ſchräg vorwärts u. ſ. f.— In Anſehung der Combination unterſuche man die von ſich ſchneidenden Linien gebildeten Durchſchnittspunkte, zeichne die Fälle und weiſe die gewonnenen Reſultate an der Figur nach(gewinne die Reſultate eben mittelſt Anſchauung aus derſelben; alſo: 2 Linien bilden nur einen Durchſchnitt, die dritte Linie ſchneidet die 2 ſchon vorhandenen und es entſtehen 2 neue Durchſchnitte(bei 3 Linien ſind es alſo 1+ 2 Durchſchnitte); die 4te Linie ſchneidet die 3 vor ihr vorhandenen und es entſtehen 3 neue Durchſchnitte(bei 4 Linien ſind es alſo 1+ 2+ 3= 6 Durchſchnittspunkte) u. ſ. f. Es muß auf die Ueberein⸗ ſtimmung dieſes Verhältniſſes mit demjenigen von den Strecken bei degehner Punktzahl hingewieſen und kann den Beſſeren vorläufig wieder die Nichrigkeit der Formel— an beſtimmten Zahl⸗ beiſpielen zum Verſtändniß gebracht werden.

Durch Drehung einer Linie um einen feſten Endpunkt entſteht ein Winkelz bei der ganzen (völligen) Umdrehung ein Kreis. Dreht ſich eine Linie gerade um eine Vierteldrehung, ſo entſteht ein rechter Winkel***); dieſer iſt alſo ein Viertel des Kreiſes. Dreht ſich die Linie um weniger, als eine Vierteldrehung, ſo entſteht ein ſpitzer, dreht ſie ſich um mehr, als eine Viertel⸗, aber weniger als halbe Drehung, ein ſtumpfer, bei halber Umdrehung ein geſtreckter oder flacher, bei mehr als halber(z. B. bei.) Drehung ein erhabner(convexer) Winkel. Der einen convexen zum Kreis ergänzende(Supplement⸗) Winkel iſt ein hohler(concaver), und zwar entweder ſtumpfer, oder rechter, oder ſpitzer Winkel. Zwei ſich treffende Linien ſchließen immer einen Winkel ein (eigentlich aber zwei; denn jeder Winkel wird durch einen andern zum Kreis ergänzt); die Linien heißen deſſen„Schenkel“ und wo ſie ſich treffen, da iſt der„Scheitel“ oder„Scheitelpunkt“ des Winkels. Uebungen müſſen nun ſein: Zeichne ſpitze, rechte ꝛc. Winkel mit dem Scheitel nach oben, unten, links, rechts! Halbire ſpitze, rechte, ſtumpfe Winkel, verdopple, verdreifache ſpitze, rechte ꝛc. Beurtheile dieſe Winkel an einer(beliebigen, alle mögliche Winkel enthaltenden) Figur!****)

*) Der Sprachgebrauch„ die Linie läuft“ iſt von der genetiſchen Entſtehung der Linie durch Fortbewegung des Punktes, wie's die praktiſche Erfahrung bei jedem Linienziehen lehrt, hergenommen.

**) Daran knüpfen ſich Fragen und Hinweiſe über ſteile Dächer, Bergabhänge, flache Dächer ꝛc. und hier können ſehr nützliche praktiſche Uebungen im Zeichnen auf Commando, im Beurtheilen hingezeichneter Linien oder vorgemachter Bewegungen und im Ausſprechen der Urtheile in Hinſicht auf die Richtung der Linien vorgenommen werden.

***) Eines Beweiſes, daß ein rechter dem andern gleich iſt, bedarf es nun weiter nicht.

*2*) Dies iſt eine der fruchtbarſten und Nutzen bringenden, weil den Formſinn bildenden Uebungen.