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gemachte Ueberzeugung erreicht die durch Selbſtthätigkeit ſich aufnöthigende des Selbſtfindens. Das Selbſtfinden geſchieht aber nur bei genetiſ cher Entwicklung. Beiſpiele mögen dies erläutern. „Der Raum hat einander entgegengeſetzte Ausdehnungen; es laſſen ſich deren drei unterſcheiden, in bie Länge, Breite und Höhe. Läßt man eine Ausdehnung des Raums verſchwinden, ſo bleibt Naum blos mit Länge und Breite, d. i. Flaͤche; läßt man an dieſer die Breite null werden, ſo bleibt Raum blos mit Länge, d. i. die Linie; läßt man die Länge der Linie abnehmen bis zum Verſchwinden, ſo erhaͤlt man den Punkt; dieſer iſt der ausdehnungsloſe Anfang oder das Ende einer Linie; er bildet deren Grenze, die Linie diejenige der Fläche, die Fläche diejenige des Raums Körperraums). Aus der Fortbewegung des Punkts eniſteht die Linie, die gerade— bei Be⸗ wegung in einer und derſelben(ſich gleich bleibenden) Richtung, die krumme— bei ſich beſtändig andernder, die gebrochene— bei dann und wann(hie und da) ſich ändernder Richtung. Die Linie bringt durch Fortbewegung in die Breite oder Hoͤhe eine Fläche hervor; bei gleichbleibender Nichtung bringt die gerade Linie eine gerade Fläche oder Ebene hervor, bei ſich beſtändig ändernder Richtung eine krumme Fläche. Fragen: Was bringt eine krumme Linie dur
Bewegung in die Breite oder Höhe hervor? Was durch Bewegung in ihrer eignen Ebne? Vor⸗ machen dieſer Fälle mit einer Gerte oder einem Draht eranſchaulichung)! Hierbei auch Doppel⸗ und Mehrbiegung in mehreren Ebnen(horizontal, vertikal ꝛc.) zu verſinnlichen und deßfallſige Vorſtellungen zu erwecken! Durch Bewegung einer Fläche in die dritte Dimenſton entſteht ein Körper. (Dieſelben Reſultate geben auch die Fragen; Was eniſteht durch Drehung einer Linie um einen . feſten Punkt linnerhalb oder am Endel, durch Drehung einer Fläche um eine feſte Linie oder Achſe innerhalb oder an den Grenzen derſelben?)
Die auf ſolchem Weg gewonnenen Begriffe von„Punkt, Linie, Fläche, Ebne, Körper, gerad und krumm“ ſind alle verſtändlicher, klarer und überzeugender, als die mittelſt noch ſo klug aus⸗ gedachter Lehrſätze und Beweiſe und dieſe letzteren in der That überflüſſig oder bloſer logiſch⸗ didaktiſcher Uebungsſtoff ohne beſondere geometriſche Bedeutung. Ihr Werth iſt lediglich formal, inſofern ſie Gedächtniß, Sprachſinn und das Sprechen, den adäquaten Ausdruck u. dgl. bilden. Bei Betrachtung des Punktes nehme man die Unterſuchung der Begriffe von Lage(in einer
ſenkrechten und einer wagrechten Ebne) vor und entwickle ſelbſtverſtändlich dabei die Begriffe„ſenkrecht“ und„wagrecht“ in Beziehung auf die Erde und unſre eigne aufrechte Stellung. Die Betrachtung der Lage der Punkte erledigt zugleich die ſprachliche Bedeutung der Ortspräpoſitionen und⸗Adverbien, wie folgendes kleine Beiſpiel lehrt. Man zeichne um einen Punkt a ringsum an der ſenkrechten Wandtafel Punkte an verſchiedenen Stellen*); nun liegt Punkt b gerade über oder oberhalb a, Punkt e gerade unter(unterhalb) a, d gerade rechts neben, e gerade links neben a, f rechts ſchräg über(oberhalb) a, g rechts ſchräg unterhalb, hlinks ſchräg oberhalb a u. ſ. w. Aehnlich in einer wagrechten Ebne: Punkt b gerade vor a, oc gerade hinter a, d gerade rechts neben, o gerade links neben a, fiſchräg rechts vor a ꝛc.; Punkt a zwiſchen d und e u. ſ. f.
Sodann nehme man die Combination bei einer gegebnen Anzahl von Punkten oder die Unterſuchung der Streckenzahl zu einer gegebnen Zahl von Punkten vor, wie: bei 2 Punkten, a und b, findet nur eine Strecke ſtatt, bei 3 Punkten(a, b u. c) auch 3 Strecken, nämlich von a nach b, von a nach oc, von b nach e, bei 4 Punkten 6 Strecken(nämlich von a
*) Vgl. über die Art und den Gang des erſten geom. Unterrichts des Verfaſſers Leitfaden der zeichnenden Form⸗ anſchauung ꝛc., Langenſalza, Thür. L. V. 1854. 4*