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den Unterricht kommt und bei ihr nicht von Vorausſetzungen ausgegangen werden darf. Zu thun hat der Unterricht dasjenige, was geeignet iſt, geometriſche Begriffe leicht und nachhaltig hervor⸗ zurufen, was auf Anſchaulichkeit und Anregung der Selbſtthätigkeit beruht, was allmähliches Vor⸗ ſchreiten ermöglicht; zu vermeiden und zu laſſen iſt aller blos wiſſenſchaftliche Definitionskram, alles gedächtnißmäßige Auffaſſen und Einlernen, 4me Bordpeiten und Demonſtriren unter paſſivem Zuhören der Schüler.

Der geometriſche Unterricht hat nun im Allgemeinen die Bildung des mathematiſchen Denkens und im Beſondern die des Formſinns zu einander in ſich ſchließenden Endzwecken, Das Weſen der Mathematitk inr Aligemeinen iſt zu⸗ bczeichnen als das des Schließens aus gehebnen Zahl⸗ oder Raumelementen, als Verſtandesthätigkeit an Größenverhältniſſen des Zahl⸗ und Raum⸗ begriffs. Das ſinnliche Element kann bezeichnet werden als Anſchauung und ſinnliche Vorſtellung der concreten Raumform; es tritt in der Zahlenlehre vor dem bloſen Begriff zurück. Während die Arithmetik bloſe Verſtandesthätigkeit bildet, tritt in der Raum⸗ oder Formenlehre noch das wirkliche Anſchauen des Augs oder der bloſen Formvorſtellung hinzu; das Denken wird hier anf dem Grund des anſchauenden und ſich vorſtellenden Formſinns thätig. 1 5

So wie die geometriſche Wiſſenſchaft ſich aus concreten damecerachtuchen entwickelte und erſt nach der Hand zur abſtracten Disciplin geſtaltete, ſo gewiß dies der natürliche Gang der geiſtigen Entwicklung des Menſchen iſt, ſo ſicher iſt hierin der Gang und das Weſen der richtigen Methode des geometriſchen Unterrichts vorgezeichnet. Auf der unteren Knabenſtufe iſt Formbetrachtung, Ent⸗ wicklung der Begriffe und Urtheile(Sätze) auf Grund ſinnlich vorliegender Formen und Form⸗⸗ combinationen das Richtige. Erſt im reiferen Alter und auf gehobneren Stufen iſt ein abſtractes Behandeln geometriſcher Sätze in Formeln, ein Beweiſen mittelſt algebraiſcher Entwicklung ſtatthaft. Kein Beweis iſt für Anfänger zuläſſig, als der auf Grund überzeugender Formanſchauung gewonnen und aus Figuren abgeleitet wird. Rouſſeau bemerkte in Bezug auf die bekannte Formel (a b)¹= a?* † 2 ab † be„die algebraiſche Entwicklung einer mathematiſchen Wahrheit komme ihm vor, wie das Hervorbringen einer Melodie durch bloſes Kurbeldrehen des Leierkaſtens.“ Neuere, ſonſt ausgezeichnete Lehrbücher für Gymnaſien und techniſche Schulen entwickeln ſelbſt in Anfangs⸗ curſen überall, wo es angeht, algebraiſch, mittelſt Rechenformeln(ſo Wiegand, Koppe, Tellkampf, Francoeur in der Bearbeitung Fiſcher's u. a. m.). Hier findet ſich offenbar eine ſchwache Seite; der Unterricht der Geometrie muß in den erſten Jahren blos geometriſch, d. h. räumlich, form⸗ ſinnlich, und nicht algebraiſch, formelmäßig entwickeln oder die Schüler entwickeln laſſen. Combi⸗ natoriſche Lehren, wie ſie(z. B. von Dieſterweg) in den anfänglichen Unterricht aufgenommen werden, was gar nicht vermieden werden ſoll ſondern ſehr bildend werden kann, müſſen aus wirklichen, raͤumlich vorgenommenen Combinationen und daran angeſtellten Unterſuchungen ent⸗ wickelt werden.

Die Bildung der Formbegriffe muß ſodann genetiſch geſchehen, das heißt, das Weitere, Höhere immer durch Veränderung, Bewegung oder Combination des Niederen, Einfacheren ge⸗ wonnen werden, wie es bis jetzt nirgens conſequenter und durchgeführter, als in Dieſterweg's „Formendenklehre“*) gezeigt iſt. Keine noch ſo präciſe und conciſe Definition, die man dem kind⸗ lichen Geiſt octroyirt, erſetzt die Klarheit und Sicherheit des durch genetiſche Operation gewonnenen, mit Selbſtthätigkeit erlangten Reſultats. Keine demonſtrirte Wahrheit und nachträglich dazu

9 Leitfaden für den Unterricht in der Formen⸗, Größen⸗ u. räumlichen Berlindunhlche⸗ für Schiter: welche an math. Gegenſtänden denken lernen dolon ꝛc. 2. Aufl. 1829.