m a, n8b ist, zu Axen einer Ellipse

so kann diese als 1. Projektion einer der gesuchten Krümmungslinien gelten. Die Hauptschnitte gehören selbst zu den Krümmungslinien, und zwar die Kehl- ellipse zur ersten, die beiden Hyperbeln zur zweiten Schaar. Es wird nämlich

7.. m² n² die Gleichung y): 22—=Z 1 erfüllt durch m= a, n= b; „ 7 2 5 ² ebenso„„ 9½):,— 2= 1„„ m= a, p— e; 5 à,,„ 2

. n Pe— endlich„„ 93):— g=z+= 1„„ n= b, p=c.

3. Die Normalflächen.

Eine Entwickelung der Gleichung der Normalflächen würde hier zwecklos sein; aber es sollen noch einzelne Leitlinien für die Normalen angeführt werden— zunächst die Rückkehrkante.

Für das Zeichnen der Normalen wird es wichtig sein zu beachten, dass die durch einen Punkt x, y, z des Hyperboloids gehenden Seiten in erster Projektion(auf die Ebene XY) als Tangenten der Kehlellipse erscheinen, der Schnitt der Tangential- ebene für diesen Punkt mit jener Prqjektionsebene die Polare des Punktes: x, y, 2— 0 in Bezug auf die Kehlellipse ist. Zu dieser Polare ist dann die erste Prqjektion der durch den Punkt x, y, z gehenden Normale senkrecht zu legen, und man findet nach den Regeln der„neueren Geometrie“ die Normalen ohne Mühe.— Zur Konstruktion der Rückkehrkante, zunächst ihrer 1. Projektion, muss auf jeder Normale der Punkt durch Analysis bestimmt werden, in welchem sie von der ihr folgenden getroffen wird. Sind u und v laufende Koordinaten der Normale, so ist die Gleichung der X A ² Normale: bax(v— y)— ay(u— x)= 0. ¹)

Polare:+ 3= 1, demnach die der

Geht man auf der Ellipse

X2 y2— m=

von dem Punkte x, y zu dem folgenden x+ dr, y+ dy über, konstruirt auch für 2