——— und dieser Ausdruck wird ein Maximum oder Minimum für dasjenige k, welches die i füllt:— t

Gleichung erfüllt ke+ 1 1— 1— 9. Die Uebereinstimmung dieser Gleichung mit der obigen Gleichung„) lehrt endlich, dass die durch den Punkt a gehenden Kurven grösster und kleinster Krümmung und die Kurven in Gleichung„) resp.*) dieselben sind.—

Es erübrigt die Gleichung„) für den Fall zu integriren, dass die Fläche F

ein Hyperboloid mit einem Fache ist. Die Gleichung des Hyperboloids sei: — X2„2 2 ². 6) 22+ b⸗= 1, wobei a ⁵ b vorausgesetzt werden möge; àA** demgemäss wird dann aus der Gleichung„)

dy-12 dy, 3 8)(38) Xy A— dr(X*— Ay²2— B)— Xy= 0, a-(b. †. ei)— à(aಗ bz), en 7 be(a= † cs); B— 42 n setzen ist.

Das Integral der Gleichung*) zu finden differenzirt sie Monge zunächst noch ein Mal,

wo A=

eliminirt aus der so gewonnenen und aus*⁹) die Konstanten A und B und integrirt das Resultat dieser Kombination zwei Mal, so gelangt er zu

X day+† dy. d 8= 0.

X

2 dy— 1. dx

D= I g, wo die Konstanten f und g noch so zu bestimmen bleiben, dass das Differential der Gleichung) und die Gleichung«) identisch werden.

Zunächst ergiebt sich aus d), dass die Prajektionen der Krümmungslinien auf die Ebene XXY Kegelschnitte sind, deren Axen mit denen der Kehlellipse der Richtung nach zusammenfallen. Diese Axen näher zu bestimmen, ziehen wir die in der Gleichung 8) enthaltenen einzelnen Fälle auseinander:

n X2+ m² ²2= ma n² n² X2— mz y²2= ma n2² — n* x²+ m y2= ma n?, dann aber ergiebt sich, dass diese Gleichungen in der Gleichung) enthalten sind, wenn für die erste: m— An?²= B „„ zweite: m²+ An⸗= B ist, während „„ dritte: m*+ An?=— B sein müsste.