5.

Allgemeinen windschief sein, die von den Tangentialebenen A, B.... umhülllte Fläche, die Stossfuge, wird eine beliebige Gestalt haben. Gleichwohl ist es für die Bearbeitung des Steines an seiner Stossfuge wichtig, dass diese— wenn auch keine Ebene, so wenigstens eine abwickelbare Fläche sei, dass also m und n sich schneiden, nach dieser Rücksicht b unter allen um a gelegenen Punkten ausgesucht, dann aber A durch n und m gelegt werde. Somit ist die Eingangs dieser Nr. gestellte Aufgabe geometrisch wie folgt auszusprechen: es sollen unter allen durch a an die Fläche F zu ziehenden Tangenten ab diejenigen gefunden werden, bei welchen die für a und b konstruirten Normalen n und m in einer Ebene liegen. Monge hat gefunden, dass es für jeden Punkt a einer Fläche

1) immer zwei Richtungen a b' und a b“ giebt, welche die vorstehende Eigen- schaft besitzen; dass

2) ab' und ab“ stets senkrecht zu einander stehen; dass

3) die beiden Normalschnitte der Fläche F mit den Ebenen(n, a b') und (n, a b“) diejenigen sind, für deren eine die Krümmung der Schnittkurve im Punkte a grösser, für die andere kleiner ist, als bei allen übrigen Normalschnitten(n, a b). Speziell für den Fall, dass die Fläche F ein Hyperboloid ist, würde dem hinzugeflgt werden können, dass

4) die Linien ab’ und ab“ die Winkel der durch den Punkt a gehenden Hyperboloidseiten halbiren.

Die Fortsetzung der Konstruktion ergiebt sich nun von selbst. Denn denkt man an dem Punkte b’ die für a angestellte Betrachtung wiederholt, und unter den beiden Linien b’c’ und b'’c“ diejenige festgehalten, welche mit ab’ einen unendlich kleinen Winkel bildet u. S. f....., so gelangt man zu der als Theilungslinie der

Leibungsfläche zu verwendenden Kurve, von Monge: Krümmungslinie genannt.

Gleichzeitig umhilllt die Reihe der durch je zwei aufeinanderfolgende Normalen(n, m) gehenden Ebenen A, B... eine Fläche, die abwickelbar ist und als Stossfuge dienen kann.

2. Die Gleichungen der Krümmungslinien auf einer allgemeinen Fläche .) F(xX, y, 2)= 0 zu erhalten bildet man die Gleichungen der Normalen für den Punkt a(d. i. X, y, 2)

und für den Punkt b(d. i+ dx, y+ dy,+ dz). In dem Falle, dass diese beiden Normalen sich schneiden, koexistiren für den Durchschnittspunkt die vier