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Diese Ausführung der Krümmungslinien, einer abwickelbaren Normalfläche und einer Rückkehrkante war der eigentliche Zweck für die Anfertigung des Modells. Uns schwebte dabei auch der Nutzen vor Augen, den die Anschauung dieser geometrischen Gebilde Ingenieuren zu leisten geeignet ist, welche das Bedürfniss sie zu konstruiren empfunden, die Schwierigkeit bei der Konstruktion nicht überwunden sondern umgangen haben. Es ist gewiss Sache der öffentlichen Lehranstalten derartige Gebilde theoretisch genau darzustellen, sei es damit diejenigen, welche sie im Grossen ausführen, die Mühe einer exakten Ausführung nicht für grösser erachten, als sie ist; sei es damit diejenigen, welche sich gewisse Abweichungen von der Theorie dabei erlauben— erlauben müssen, die Grösse der hieraus erwachsenden Ungenauigkeit ersehen, vielleicht die Bedin-

gungen sich ableiten können, unter denen im gegebenen Falle diese Ungenauigkeit ein

Minimum wird. Dass übrigens grade das Hyperboloid der Untersuchung unterworfen wurde, hat darin seinen Grund, dass diese Fläche für die in der Bautechnik nicht eben seltenen windschiefen Flächen in gewissem Sinne als Normalkörper gelten kann und behandelt wird.

Die Verzeichnung der Krümmungslinien und der Normalflächen ist auf dem einfachen Wege rein geometrischer Konstruktionen, so viel ich weiss, noch nicht ge- funden. Monge hat in seiner„Application de l'analyse à la géométrie“ die Gleichungen derselben entwickelt und die Linien für das Ellipsoid gezeichnet. Es sollen diese Gleichungen unter Beibehaltung auch der von Monge gewählten Bezeichnungen für das Hyperboloid nachher umgeschrieben, zuvor aber aus deren Herleitung soviel hier wiedergegeben werden, als zum Verständniss der Gleichungen und zur Beurtheilung

des Modells erforderlich ist.

1. Die Aufgabe:

Behufs Zertheilung eines Gewölbes in Gewölbsteine soll durch einen Punkt a in dessen Leibungsfläche F eine Theilungslinie gezogen werden, so dass der Anforderung an Widerstandsfähigkeit an der Fugenkante und den für die Bearbeitung zu nehmenden Rücksichten gleichzeitig genfigt werde.

Die Fugenfläche oder vielmehr zunächt deren Tangentialebene A für den Punkt a muss um der Anforderung an die Widerstandsfähigkeit willen die Normale n zur Leibungsfläche im Punkte a enthalten. Ein beliebiger 2. Punkt der Leibungsfläche in der Nachbarschaft des Punktes a heisse b, die Normale für ihn m, die durch m gehende zweite Tangentialebene der Fugenfläche B; so werden die Normalen m undn im