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Um nun noch die Meridiane in die Horizontalebene des Ausgangsortes zu übertragen, muß man jede der Parallelen auf dieſe Horizontalebene projiciren. Mit anderen Worten, die Reduction der Meri⸗ diane iſt damit auf die geometriſche Aufgabe zurückgeführt:

es ſind die Kanten eines geraden Kreiskegels auf eine ſeine Tangentenebenen zu projiciren.

Von den verſchiedenartigen Hülfsmitteln, die uns die Mathematik zur Löſung dieſer Aufgabe darbietet, dürften uns die der analythiſchen Geometrie am bequemſten zum Ziele führen.

Wir beziehen den Kegel auf ein rechtwinkliges Coordinatenſyſtem, nehmen zum Coordinatenan⸗ fang die Spitze des Kegels, zur x Axe zunächſt ſeine Axe, zur y und 2 Axe zwei beliebige unter ſich und auf der erſten ſenkrechte Geraden. Bezeichnen wir nun die Höhe des Kegels mit h, den Radius des Grundkreiſes mit r, die Coordinaten eines beliebigen Punktes auf der Peripherie des Grundkreiſes mit x, y, z,— bezeichnen wir ferner den Winkel zwiſchen dem Radius des gewählten Punktes und dem im entgegengeſetzten Sinne der 2 Axe gezogenen Radius— an der Figur BCA— mit t, ſo

0* laſſen ſich die Coordinaten durch die gewählten Beſtimmungsſtücke ausdrücken. ₰ Es iſt nämlich X= h 5 y= r cos(t— 90)= r sin t

z.=r sin(t— 90)=— r cos t.

Transformiren wir nun zu neuen Axen, ſo daß der Coordinatenanfang und die y Axe unverän⸗ dert bleiben, die X 2 Ebene aber ſich in ihrer Ebene ſoweit dreht, daß die neue x Axe Tangente des Kegels im tiefſten Punkte B wird und bezeichnen wir die neuen Coordinaten mit X, X, Z, ſo werden dieſe mit den alten x, y, ⁊, bekanntlich durch die Gleichungen verbunden

X= x cos«+ y cos+ 2 cos„ I= y cos a+ y cos 6+† 2 cos. Z= X cos+ y cos 5+† 2 cos, wo a, 8, y; l, 61, P; Ml*, v die Winkel bedeuten, welche die neuen Axen mit den vorherigen bilden. Unter unſeren Vorausſetzungen nun und da wir die Weite des Kegels— 2% kennen, folglich um das vorhergenannte Ziel zu erreichen, eine Drehung der x z Ebene um den Winkel S eintreten laſſen müſſen, iſt 2= C; 6= 90; y= 90+ G a— 90; 614= 0; 71— 90 21= 90-9; 6.— 90;„.—+ und die Transformationsgleichungen nehmen die Geſtalt an X= x cos— 2 sin = Z= x sin+ 2ã cos O.

Setzen wir in dieſe Gleichungen die vorherigen Werthe für x, y, 2 ein, ſo finden wir die Coor⸗

dinaten des gewählten Punktes auf der Peripherie des Grundkreiſes ausgedrückt durch die Formeln ¹ X= h cos%+†r cos t sin G XY=r sint Z= h sin H— r cos t cos O.

Eine beliebige Kante des Kegels erhalten wir nun, wenn wir den Coordinatenanfang mit dem Punkte X, Y, Z verbinden. Ihre Gleichungen laſſen ſich nach dem Vorhergehenden leicht darſtellen.