— 16—
20. b— e, h, p 26. a+†b † e, h,„ 32. p——, b— c,—„ 21. b— c, he, 6 27. a+ b+e, h, 6 33. p— J, b+ c, 5— p 22. b— c, he, 28. a+ b— c, α, y 34. p— q, b—c,„*)
23. b— c, hp, α 29. a+ b— c, hy,„ 35. p——, b—c, α**) 24. a+†b †e,„,„ 30. a+ b— c, 9,) 36. p——, b+ c, a.
25. a+ b †c, ha, 6 31. p——, b—c,„
Die nächst höhere Stufe des Lehrgangs macht die Schüler mit den Sätzen über das Parallelo- gramm und gleichzeitig mit folgendem geometrischen Orte vertraut.
2. geometrischer rt.
Der geometrische Ort für alle Punkte, die von einer der Lage nach gegebenen Geraden einen gleichen Abstand haben, ist die in jener Entfernung zur Geraden gezogene Parallele.
Aufgaben, bei denen eine Seite und die zugehörige Höhe bekannt ist, sind hier einzureihen, und infolge dessen wiederholen sich hier nicht wenige Beispiele der früheren Abschnitte, jedoch mit einfacherer Lösung. Ferner kommen hier solche Aufgaben zur Behandlung, bei denen eine Mittellinie gegeben ist. Ist die zugehörige Seite unbekannt, so verlängert man in der Regel diese Mittellinie etwa AE(s. Fig. 5) um sich selbst und verbindet den Endpunkt F derselben mit B und C. Das so entstandene Viereck ABFC ist ein Parallelogramm, weil die Diagonalen einander gegenseitig halbieren, daher lässt sich entweder Dreieck ABF oder ACF konstruieren. Auch die Aufgaben, bei welchen sich unter den Konstruktionselementen die Summe zweier Höhen z. B. he+ hp oder die Differenz derselben ho— hp befindet, dürften hier ihren Platz haben. Ist he+ hp gegeben, so verlängere man(s. Fig. 6) die eine Höhe CE(he) über E hinaus um die andere BD(ho) bis F, sodass CF gleich h+† hy ist. Zieht man dann durch F eine Parallele zu AB(oder, was dasselbe ist, errichtet auf FC in F eine Senkrechte), welche die Verlängerung von CA über A hinaus in G schneidet, so ist in dem so entstandenen Hilfsdreieck CGF die Seite CF= he+ ho, ₰ CGF= X BAC= a und CG= b+ c. Um Letzteres zu beweisen, fällt man von A auf FG eine Senkrechte AH und zeigt, dass ½△ AGH ☛ △ BAD ist. Hieraus folgt, dass AB= AG, also CG= b+c ist. Durch dieses rechtwinkelige Hilfsdreieck, das durch zwei gegebene Elemente bestimmt ist, ergibt sich für das gesuchte Dreieck zunächst der Eckpunkt C und durch die Seite CG ein Ort für den Eckpunkt A. Verbindet man noch G mit B, so halbiert diese Linie den CGF und ist also ein Ort für den Punkt B.( AGB= X ABG= X FGB.) Durch ein weiteres Element erhält man einen zweiten Ort für den Punkt A bzw. B und durch die Erwägung, dass △ ABG gleichschenkelig oder GFAB ist, einen weiteren Ort für B bzw. A.
Kennt man he— hy, so trage man(s. Fig. 7) BE(hp) von D aus auf CD(he) ab, ziehe durch den so erhaltenen Punkt F eine Parallele FG zu AB und fälle GH. l AB. Dann ist in dem Hilfsdreieck FGC die Seite FC= he— hy, FGC= a und Seite GC= b—c( AHG ☛ᷓ X△ ABE);
*) Siehe Fig. 9.
**) FKC(siehe Fig. 9)= 2 R-G4 E)==R=E=r
2 X+ FKROC= 2 RO S—„= a.
X FKOCG= 5
GK0C= R+ 2.