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Aufgabe 3.
Ein Dreieck zu konstruieren aus den drei Seiten= a, b und c.(Fig. 1).
Analysis: Durch die Seite a sind die beiden Eckpunkte B und C bekannt, die beiden ôrter für den dritten Eckpunkt A sind 1) der Kreisbogen mit c als Radius um B als Mittelpunkt und 2) der Kreisbogen mit b als Radius um C als Mittelpunkt.
Konstruktion: Trage eine Strecke BC= a auf, setze in B ein und beschreibe mit c als Radius eine Kreislinie, ebenso setze in C ein und beschreibe mit b eine Kreislinie, der Schnitt- punkt beider Kreislinien ist der dritte Eckpunkt A. Verbinde A mit B und C, so ist ABC das gesuchte Dreieck.
Determination: 1) b epa. 2) b—c=a. 3) Da die beiden Kreislinien, wie aus der Figur ersichtlich, sich in 2 Punkten A und A“ schneiden, so entstehen zwei Dreiecke, die kon- gruent und nur ihrer Lage nach verschieden sind.
Die beiden geometrischen Orter sind hier zwei Kreislinien.
Aufgube 4.
Ein Dreieck zu konstruieren aus zwei Seiten= a und b und dem der einen Seite b gegen- überliegenden Winkel=.(Fig. 2).
Analysis: Durch Seite a sind wieder die beiden Eckpunkte des Dreiecks B und C bekannt; die beiden Orter für A sind 1) der freie Schenkel des Winkels„, 2) der Kreisbogen mit b als Radius um C als Centrum.
Konstruktion: LZiehe BC= a, trage im Punkt B den Winkel auf und beschreibe mit b um C einen Kreisbogen. Den Schnittpunkt A verbinde mit C.
Determination: Es hängt von der dem gegebenen Winkel gegenüberliegenden Seite b ab, ob ein, zwei oder kein Dreieck möglich ist. Zur näheren Unterscheidung fälle man von dem Punkt C auf den gegenüberliegenden freien Schenkel des Winkels eine Senkrechte CD.(Vergl. Fig. 2).
1. Ist b= a, so trifft der um C mit b beschriebene Kreis den freien Schenkel des Winkels nur einmal, und es entsteht infolge dessen nur ein Dreieck.
2. Ist b= a, so trifft der Kreisbogen den freien Schenkel in einem Punkt, durchschneidet aber gleichzeitig den Scheitel des Winkels, und so entsteht ein gleichschenkeliges Dreieck.
3. Ist b= a, aber grösser als die Senkrechte CD, so trifft der Kreis den freien Schenkel in zwei Punkten, und es sind also zwei verschiedene Dreiecke möglich.
4. Ist b= CD, so berührt der Kreis den freien Schenkel in einem Punkt, und es entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck.
5. Ist b= CD, so schneidet der Kreis den freien Schenkel in keinem Punkt; in diesem Falle lässt sich kein Dreieck konstruieren.
b. Fundamentalaufgaben für das gleichschenkelige, rechtwinkelige, gleichseitige und gleichschenkelig-rechtwinkelige Dreieck.
Sobald dem Schüler bekannt ist, dass man zur Konstruktion eines gleichschenkeligen Dreiecks nur zwei Konstruktionselemente nötig hat, da zwei Seiten und die Basiswinkel desselben gleich sind, zur Konstruktien eines rechtwinkeligen Dreiecks ebenfalls zwei, da der rechte Winkel immer bekannt ist, und zur Konstruktion eines gleichseitigen und eines gleichschenkelig-rechtwinkeligen Dreiecks ein Element genügt, so wird er fast ohne jede weitere Anleitung folgende Aufgaben zu lösen imstande sein.