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und zwar so, dass dieselben möglichst in Verbindung mit einander stehen, sucht dann entweder die noch fehlenden Eckpunkte des Dreiecks mit Hilfe geometrischer Orter direkt zu finden, oder erst ein Hilfsdreieck zu konstruieren, natürlich auch mit geometrischen Ortern, und von diesem ausgehend die noch fehlenden Eckpunkte des eigentlich verlangten Dreiecks zu bestimmen.

In der Konstruktion wird die Figur nach dem in der Analysis vorgeschriebenen Wege gezeichnet.

Der Schüler kann nicht oft genug darauf aufmerksam gemacht werden, dass er in der Kon- struktion nur zu konstruieren hat, d. h. dass er das, was er in der Analysis angegeben, wirklich ausführt, also die dort gefundenen geometrischen Orter der Reihe nach konstruiert und die durch die Punkte bestimmten Geraden zieht. Wenn auch die Konstruktion mit geringem Unterschied wieder auf die Figur der Analysis führt, so ist es bei den ersten UÜbungen unbedingt erforderlich, für Analysis und Konstruktion eine besondere Figur anfertigen zu lassen, damit dem Schüler der Aufbau der Figur aus den Konstruktionselementen zum klaren Bewusstsein kommt.

Der Beweis hat die Bestimmung zu zeigen, dass in der Figur die gegebenen Stücke wirk- lich enthalten sind. Er hat den umgekehrten Verlauf wie die Analysis, denn letztere geht von den Eigenschaften der gesuchten Grösse aus, während der Beweis zeigt, dass die durch die Kon- struktion gefundene Grösse die verlangten Eigenschaften hat, deshalb darf in ihm auch nur auf die Konstruktion Bezug genommen werden, ein Punkt, den auch der Anfänger nicht genug be- herzigt. Ein weiterer Fehler liegt meist darin, dass der Schüler sich häufig damit begnügt, nur nachzuweisen, dass eine Strecke(z. B. ta) ihrer Grösse nach in der Figur enthalten, nicht aber auch ihrer Bedeutung nach.

Die Determination ist nach meinem Dafürhalten erst auf einer höheren Stufe von grösserem Werte, da sie sehr oft nur mit Hilfe der Trigonometrie genau gegeben werden kann. Sie ist jedoch immer dann zu bringen, wenn sie sich dem Schüler aus bereits bekannten Lehr- sätzen oder aus der Konstruktion ergibt.

3. Aufgaben. a. Die vier Fundamentalaufgaben des Dreiecks.

Dem Schüler wird das Verständnis der geometrischen Orter und ihrer Verwendung zur Lösung geometrischer Aufgaben zuerst bei Einführung in die Kongruenz der Dreiecke geläufig gemacht. Zu diesem Zweck möchte ich die übliche Reihenfolge der Kongruenzsätze etwas ändern und den Satz:„Sind in zwei Dreiecken eine Seite und die beiden anliegenden Winkel einzeln einander gleich, so sind die Dreiecke kongruent“, der gewöhnlich als zweiter Kongruenzsatz aufgestellt ist, als ersten betrachtet wissen.*) Der Vorteil, der für die Einführung der geometrischen Orter hieraus erwächst, wird sofort in die Augen fallen, wenn man obigen Satz etwa folgendermassen beweist. Die beiden Dreiecke sollen ABC und abe heissen, BC soll= be, ABC= X abe und X A0B = M acb sein. Denkt man sich das Dreieck abc so auf das Dreieck ABC gelegt, dass be die Seite BC deckt, so muss, da ABC= X abce ist, der Schenkel ba mit Schenkel BA zusammenfallen und der Punkt a in der Linie BA liegen; ebenso muss, da£‿ ACB= X acb ist, der Schenkel ca mit CA zusammenfallen und der Punkt a auch in AC liegen. Folglich kann er nur da liegen, wo BA und CA sich schneiden, also auf dem Punkte A. Die beiden Dreiecke haben also die drei Eckpunkte gemeinsam und sind demnach kongruent. Natürlich und ungezwungen schliesst sich

*) In mehreren Lehrbüchern der Planimetrie ist auch dieser Satz schon als erster Kongruenzsatz aufgeführt.

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