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Lehrbuchs der Planimetrie von C. Spitz ergeben, geordnet und dabei geometrische érter durch Anschauung und geometrische Orter von Lehrsätzen abgeleitet unterschieden. Auf die Wieder- holung von Beispielen, die in den folgenden Abschnitten meist einfachere Lösung finden, habe ich besondere Rücksicht genommen. Einzelnen Gruppen wurden die nötigen Vorbemerkungen und aus- geführte Musterbeispiele vorangestellt.

Von Werken, die ich bei dieser Arbeit benutzt, seien ausser den bereits angeführten noch erwähnt: Borth, Die geometrischen Konstruktionsaufgaben für den Schulgebrauch, Leipzig 1885 und G. Hoffmann, Anleitung zur Lösung planimetrischer Aufgaben, Leipzig 1885.

I. Dreieckskonstruktionen, bei denen ausschliesslich geometrische Orter durch Anschauung zur Anwendung kommen.

1. Die bei den Dreiecksaufgaben gebrauchten Bezeichnungen.

Das zu konstruierende Dreieck soll immer mit ABC bezeichnet werden, und zwar soll A oben, B unten links, C unten rechts liegen.

Die Länge der Seite BC wird mit a, die Länge der Seite AC mit b und die Länge der Seite AB mit c bezeichnet(b— c).

Der Winkel BAC heisst α, Winkel ABC heisst, und Winkel ACB heisst y.

Die von A auf BC gefällte Höhe wird mit ha, die von B auf AC gefällte Höhe mit hy und die von C auf AB gefällte Höhe mit he bezeichnet.

ta ist die zur Seite BC gehörige Mittellinie(sie verbindet den Eckpunkt A mit dem Mittel- punkt der Seite a); ty ist die zur Seite A0C, ta die zur Seite AB gehörige Mittellinie.

p und q sind die Abschnitte, in welche die Seite BC durch die Höhe ha geteilt wird, und zwar liegt q an B, p an C.

Wa, Ws, wy sind die Halbierungslinien der Winkel æ, S, y.(Wa geht vom Eckpunkt A bis zum Schnittpunkt mit der gegenüberliegenden Seite).

wa teilt die Seite BC in 2 Abschnitte u und v; u ist der rechte, v der linke.

Im gleichschenkeligen Dreieck ist die Basis a benannt, ein Schenkel= b.

Im rechtwinkeligen Dreieck liegt der rechte Winkel bei A.

Im gleichseitigen Dreieck ist die Seite= a.

2. Die geometrische Analysis.“)

Zur vollständigen Lösung einer planimetrischen Aufgabe gehört Analysis, Konstruktion, Be- weis und Determination.

In der Analysis nimmt man an, die Aufgabe sei bereits gelöst, man hätte z. B. schon das gesuchte Dreieck. Konstruiert sich sodann eine der Figur ähnliche, etwa, wenn ein recht- winkeliges Dreieck gesucht ist, ein rechtwinkeliges. Darauf bringt man die gegebenen Stücke in die Figur, soweit sie noch nicht in derselben enthalten, d. h. unmittelbare Teile der Figur sind,

*) Vergl. Nagel a. a. 0.